有1,2,3,4,5号码的人与椅,人不坐与自己同号的椅

踏歌而来

分别编有1，2，3，4，5号码的人与椅，其中i号人不坐i号椅的不同坐法有多少种？

这是一个错位排列问题，有公式。
实际上，在考试中，如果遇到是用排列组合的自身知识来解答的。
用错位排列公式是44。

我用排列组合的知识，算出是48。
为叙述清晰，我们把人的编号设为1、2、3、4、5，椅子的编号定为①、②、③、④、⑤。
1不坐①号椅子，2不坐②、3不坐③、4不坐④、5不坐⑤，这是题目要求。

假设1先坐，他有②、③、④、⑤共4种选择，不失一般性，可设坐③；
与③同号的3，接着选择座位，他可以选择①、②、④、⑤ 共4种选择，不失一般性，可设选④；
与④同号的4，接着选择，可以在①、②、⑤中选择，共3中选择，不失一般性，可选②；
剩下就是2、5两个人，座椅是①、⑤，这时，2坐⑤，5坐①，只有一种可能性。
根据分步原理，有C(4,1)*C(4,1)*C(3,1)*1=48种。

我试了试，按此步骤，没有发现在这48个中有不符合条件的坐法。

这个问题就来了，如果错位排列公式是可信的，那么n=5时为什么是错误的？
请大家帮我看看，48与44的误差在哪里？

tommywong

1:③

2:①,④,⑤
3:①,②,④,⑤
4:①,②,⑤
5:①,②,④

3选④与选②,⑤相同，但与选①不相同，失了一般性

tommywong

话说已经可以用多项式模拟秒证错排公式了

$\displaystyle \prod_{r=1}^n (s-x_r)$中$\displaystyle \prod_{r=1}^n x_r$的系数

$\displaystyle \prod_{r=1}^n (s-x_r)=\sum_{r=0}^n a_r s^{n-r}=\sum_{r=2}^n a_r s^{n-r}$

$\displaystyle \sum_{r=2}^n (-1)^r C_n^r \frac{(n-r)!}{1!1!...1!}=n!\sum_{r=2}^n \frac{(-1)^r}{r!} $

踏歌而来

回复 2# tommywong

说得对！
这种情况下，剩下2、4、5人和②、④、⑤椅子，确实错不开。
谢谢你，你很厉害！

这样的情况，共有4个，在总数中排除这4个就可以了。

踏歌而来

2、4、5人和②、④、⑤椅子
乍看，确实是错不开，好像只能错开两个。

现在再看看：
2   4   5
④  ⑤  ②
好像它们也错开了，只是经验常让人上当。

踏歌而来

现在再看看：
2   4   5
⑤  ②  ④  
它们也能错开。

这样，当1号人选择3号椅，3号人选择1号椅时，有符合条件的两种排列。
其他情况为三种排列。
每一个大的情况下，就是2*1+3*3=11。
四个大情况下，就是11*4=44。
看来研究错位排列公式的人没有忘记用实际的东西进行验证。

谢谢tommywong 的提醒！

其妙

夫妻伴舞问题，或称错装信封问题，