问几道概率论与数理统计的题

叶剑飞Victor

设(X,Y)在区域 D={(x,y)|0<x<1,|y|<x} 上服从均匀分布，则D(X)=(    )。

叶剑飞Victor

设总体$X\sim N(0,1)$，$(X_1,X_2)$是来自总体X的简单随机样本，则样本的联合密度函数为(    )。

叶剑飞Victor

设相互独立的随机变量X,Y都服从标准正态分布，则(     )

　　　A、X+Y服从$\chi^2$分布　　　　　　B、$X^2+Y^2$服从$\chi^2$分布
　　　C、$\frac{X}{Y}$服从$\chi^2$分布　　　　　　　D、$\frac{X^2}{Y^2}$服从$\chi^2$分布

战巡

回复 1# 叶剑飞Victor

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你这些题也太基础了吧........
第一个：
\[f_X(x)=\int_{-x}^x1·dy=2x, 0<x<1\]
\[E(X)=\int_0^1x·f_X(x)dx=\int_0^12x^2dx=\frac{2}{3}\]
\[D(X)=E[(X-E(X))^2]=\int_0^1(x-\frac{2}{3})^2·2xdx=\frac{1}{18}\]

第二个，简单随机样本中各样本独立，直接把pdf乘起来就完事了啊

第三个，$X+Y \sim N(0,2)$，$X^2+Y^2 \sim\chi^2(2)$，$\frac{X}{Y} \sim Cauchy(0,1)=T(1)$，$\frac{X^2}{Y^2} \sim F(1,1)$

叶剑飞Victor

回复 4# 战巡


谢谢回复，不过第三题没看懂过程。

叶剑飞Victor

第二题
$$ f(x,y) = f(x_1) \cdot f(x_2) = \frac{1}{2\pi}e^{-\tfrac{{x_1}^2}{2}} \cdot \frac{1}{2\pi}e^{-\tfrac{{x_2}^2}{2}} = \frac{1}{2\pi} e^{-\tfrac{{x_1}^2+{x_2}^2}{2}}$$

战巡

回复 5# 叶剑飞Victor


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第三题哪要什么过程，完全是考定义
自己回去看看卡方分布如何定义的，柯西分布如何定义的，T分布如何定义的，F分布如何定义的就知道了