好久没出题了，来一发

战巡

好吧其实还是我们作业的题.......


A、B两人合作清理一间房子，A从厨房开始清理，B从卧室开始清理，其中A完成厨房清理所用时间$T_{A1}\sim EXP(2)$，B完成卧室清理所用时间$T_{B1}\sim EXP(1.5)$
无论谁先清理完自己的部分，都会到屋外的小院清扫树叶，而没做完的继续做，此时无论A还是B，他们独自完成树叶清扫的时间都是$T_{A2}, T_{B2}\sim EXP(1)$
而如果另一个人完成了清理工作，而清扫树叶工作还未结束的话，两人会一起清扫树叶，此时完成的时间$T_{AB2}\sim EXP(2)$
当树叶清扫完成后，全部清理完成

求全部完成所需时间的均值

注：此处的指数分布参数表示如下：
\[X\sim EXP(\lambda)\]
\[f_X(x)=\lambda e^{-\lambda x}, x>0\]
\[E(X)=\frac{1}{\lambda}\]

kuing

来一发

原来你还有作业……

其妙

指数分布？$E(X)=\dfrac{1}{\lambda}$，$D(X)=\dfrac{1}{\lambda^2}$，

青青子衿

回复 3# 其妙

指数分布？$E(X)=\dfrac{1}{\lambda}$，$D(X)=\dfrac{1}{\lambda^2}$，
其妙 发表于 2014-5-10 15:16

0-1分布
超几何分布
二项分布
正态分布
均匀分布
泊松分布
指数分布
{:curse:}
咋滴~\(≧▽≦)/~啦啦啦( ⊙o⊙ )?布有这么多种分法呀( ⊙ o ⊙ )！

tommywong

原来还没有做，无视分布算算看
T(A1)=1/2,T(B1)=2/3
T(A2)=T(B2)=1,T(AB2)=1/2
A用1/2时间完成厨房清理，B还有1/6时间完成卧室清理
这时A独自清扫树叶，完成了工作的1/6
两人一起清扫5/6的树叶，用了5/12
2/3+5/12=13/12

tommywong

$\displaystyle T=max\{T_{A1},T_{B1}\}+(1-\frac{|T_{A1}-T_{B1}|}{T_{A2}})T_{AB2}$

tommywong

$\displaystyle E(max\{T_{A1},T_{B1}\})=\frac{1}{2}+\frac{1}{1.5}-\frac{1}{2+1.5}=\frac{37}{42}$

$\displaystyle E(|T_{A1}-T_{B1}|)=E(2max\{T_{A1},T_{B1}\}-T_{A1}-T_{B1})=\frac{37}{21}-\frac{1}{2}-\frac{1}{1.5}=\frac{25}{42}$

$\displaystyle E(T)=\frac{37}{42}+(1-\frac{25}{42})\frac{1}{2}=\frac{13}{12}$

tommywong

果然布是没有用的

战巡

回复 1# 战巡


果然还是太烦人了点，现在都没人做出来，这本来是个随机过程的题目，如果没有相关知识只靠常规方法的话确实非常麻烦

5、7楼那个着实胡闹
公布答案吧：

首先建立7个状态：
1、A、B两人都在清理
2、A完成清理，B未完
3、B完成清理，A未完
4、A、B都完成清理，共同扫树叶
5、A扫完树叶B还没清理完
6、B扫完树叶A还没清理完
7、全部完成

这样就可以确定跳跃率矩阵$Q$各元素的值了
其中从1到2，跳跃率$Q_{1,2}=E(T_{A1})=2$，反过来不可能从状态2跳到状态1，故$Q_{2,1}=0$
对角线上$Q_{i,i}=-\sum_{j\ne i}Q_{i,j}$，也就是保证对每一行有$\sum_{j=1}^7Q_{i,j}=0$
于是最后可知跳跃率矩阵为：
\[Q=\begin{pmatrix}-\frac{7}{2} & 2 & \frac{3}{2} & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & -\frac{5}{2} & 0 & \frac{3}{2} & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & -3 & 2 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & -2 & 0 & 0 & 2\\0 & 0 & 0 & 0 & -\frac{3}{2} & 0 & \frac{3}{2}\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\]
这个矩阵最后一行全为0，显然很奇怪，实际上状态7是个无用的东西，它只是最终用来确定完成的而已，所以计算时删掉这行就好了
令矩阵：
\[R=\begin{pmatrix}-\frac{7}{2} & 2 & \frac{3}{2} & 0 & 0 & 0 \\0 & -\frac{5}{2} & 0 & \frac{3}{2} & 1 & 0 \\0 & 0 & -3 & 2 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 & -2 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & -\frac{3}{2} & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}\]
则有每个状态到最后的状态7的平均时间为：
\[g=-R^{-1}·1=\begin{pmatrix} \frac{251}{210}\\ \frac{29}{30} \\ \frac{5}{6} \\ \frac{1}{2} \\ \frac{2}{3} \\ \frac{1}{2}\end{pmatrix}\]
也就是说，从状态1，即一开始，到状态7，即全部完成，平均时间为这个向量的第一项，也就是$\frac{251}{210}$

tommywong

回复 9# 战巡

......$E(T_{A1})=2$？

tommywong

お？最后三行不像有错的样子，战巡好厉害