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isee
发表于 2014-5-28 12:59
本帖最后由 isee 于 2014-5-28 13:43 编辑 求$x^2-2xy+2y^2=1$焦点。
用高等几何知识，但书写用初等方式，即不用齐次坐标，也不用矩阵，则有
$B^2-4AC=4-8<0$，即此二次曲线为椭圆。
设其斜率为$k$的切线方程为$y=kx+m$，与椭圆联立，整理有
\begin{align*}
(2k^2-2k+1)x^2+2m(2k-1)x+2m^2-1&=0\\
\Delta =4m^2(2k-1)^2-4(2k^2-2k+1)(2m^2-1)&=0\\
\Rightarrow m^2&=2k^2-2k+1
\end{align*}
斜率为$k$的切线方程为
\[y=kx\pm \sqrt {2k^2-2k+1}\]
令$k=\pm \mathrm{i}(\mathrm{i^2=-1)}$，于是迷向切线为
\begin{align*}
y&=\mathrm{i}x+\sqrt{-1-2\mathrm{i}}\\[2ex]
y&=\mathrm{i}x-\sqrt{-1-2\mathrm{i}}\\[2ex]
y&=-\mathrm{i}x+\sqrt{-1+2\mathrm{i}}\\[2ex]
y&=-\mathrm{i}x+\sqrt{-1+2\mathrm{i}}
\end{align*}
联立求有穷交点，解得两实焦点$\left(\sqrt{\frac{\sqrt5+1}2},\sqrt{\frac{\sqrt5-1}2}\right), \left(-\sqrt{\frac{\sqrt5+1}2},-\sqrt{\frac{\sqrt5-1}2}\right)$
容易知到，椭圆中心为原点，从而长轴所在方程即原点与焦点决定的直线，与椭圆次联立求顶点坐标…… |
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楼主: 其妙
kuing
发表于 2014-6-3 23:17
，高端大气上档次！
