求椭圆$x^2-2xy+2y^2=1$的焦点坐标、长轴、短轴长。

其妙

回复 6# kuing
你这个是长轴还是半长轴呀？短轴还是半短轴？

kuing

回复 21# 其妙

噢，是半……改了

第一章

用第二定义吧，也不难啊

kuing

回复 23# 第一章

写写看呐

isee

回复 24# kuing


    大工程，题对他估计是小意思，不过，写代码就麻烦了，哈哈

第一章

解：易验证曲线为椭圆，且关于原点对称（$x$ 换为 $-x, ~ y$ 换为 $-y$，方程不变）；可设长轴为 $y=k x$，一条准线为 $y=-\frac{1}{k} x+m$，相应的焦点为 $(n, k n)$，离心率为 $e$根据圆锥曲线的第二定义，对于曲线上的每一点 $P(x, y)$，应有
$(x-n)^2+(y-k n)^2=e^2 \cdot \frac{(x+k y-k m)^2}{1+k^2}$，展开，得
\[
x^2-2 n x+n^2+y^2-2 k n y+k^2 n^2=\frac{e^2}{1+k^2} \cdot\left(x^2+k^2 y^2+k^2 m^2+2 k x y-2 k m x-2 k^2 m y\right)
\]
把 $2 x y=x^2+2 y^2-1$ 代入，并比较 $x^2, ~ y^2$ 的系数，
得 $\left\{\begin{array}{c}1=\frac{e^2}{1+k^2}(1+k) \\ 1=\frac{e^2}{1+k^2}\left(k^2+2 k\right)\end{array}\right.$ ，得 $k^2+2 k=1+k$ ，解得 $k=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ ，
同样比较 $x, ~ y$ 的系数及常数项，可求得 $m, n, e$ 的值．

kuing

回复 26# 第一章

圆奶乳齿

isee

中心是原点很关键啊，欣赏欣赏

isee

求$x^2-2xy+2y^2=1$焦点。

用高等几何知识，但书写用初等方式，即不用齐次坐标，也不用矩阵，则有


$B^2-4AC=4-8<0$，即此二次曲线为椭圆。

设其斜率为$k$的切线方程为$y=kx+m$，与椭圆联立，整理有
\begin{align*}
(2k^2-2k+1)x^2+2m(2k-1)x+2m^2-1&=0\\
\Delta =4m^2(2k-1)^2-4(2k^2-2k+1)(2m^2-1)&=0\\
\Rightarrow m^2&=2k^2-2k+1
\end{align*}

斜率为$k$的切线方程为
\[y=kx\pm \sqrt {2k^2-2k+1}\]

令$k=\pm \mathrm{i}(\mathrm{i^2=-1)}$，于是迷向切线为
\begin{align*}
y&=\mathrm{i}x+\sqrt{-1-2\mathrm{i}}\\[2ex]
y&=\mathrm{i}x-\sqrt{-1-2\mathrm{i}}\\[2ex]
y&=-\mathrm{i}x+\sqrt{-1+2\mathrm{i}}\\[2ex]
y&=-\mathrm{i}x+\sqrt{-1+2\mathrm{i}}
\end{align*}

联立求有穷交点，解得两实焦点$\left(\sqrt{\frac{\sqrt5+1}2},\sqrt{\frac{\sqrt5-1}2}\right), \left(-\sqrt{\frac{\sqrt5+1}2},-\sqrt{\frac{\sqrt5-1}2}\right)$

容易知到，椭圆中心为原点，从而长轴所在方程即原点与焦点决定的直线，与椭圆次联立求顶点坐标……

其妙

回复 29# isee
迷向切线，高端大气上档次！
没学过，或者搞忘了！

删广告专用

回复 30# 其妙
听都未听过。。。

其妙

回复 31# 删广告专用
这个账号都忘啦，只有查聊天记录了

kuing

回复 32# 其妙

这个号现在也没什么用了，自从在注册里设置了数学问题之后就成功防住广告了

其妙

回复 33# kuing
啥问题呀？是不是很高深的？

kuing

回复 34# 其妙

基本上是初中范围内

其妙

回复 35# kuing
发广告的还做不起初中题？也正常，或者说他没的时间去做，一心只想发广告

kuing

回复 36# 其妙
发广告的有人工发也有机器发，像我们这些小论坛，一般不会被人工发的盯上，因为既然选择人工发，论坛是大型还是小型都要用差不多的人力，那当然就选择大型论坛发了，所以小型论坛发广告的大多数都是机器发的，于是注册验证问题就很有效了，当然，验证问题不可以是四则运算，因为机器应该有应对的程序，所以用一些简单题目就可以了，还有就是像你说的那样，就算是人工来发的，即便是简单题也没心思去做了，还不如去别的地方发。

isee

复元素，迷向切线就是斜率为$\pm \mathrm{i}$的切线，高等几何范围，研究主轴，焦点，以及两直线的交角度量等相关

活着＆存在

以原点为中心的椭圆方程：
\[
\begin{aligned}
& \sqrt{(x-m)^2+(y-n)^2}+\sqrt{(x+m)^2+(y+n)^2}=2 a \\
& \Rightarrow(x+m)^2+(y+n)^2=(x-m)^2+(y-n)^2+4 a^2-4 a \sqrt{(x-m)^2+(y-n)^2} \\
& \Rightarrow a \sqrt{(x-m)^2+(y-n)^2}=a^2-m x-n y \\
& \Rightarrow a^2\left[(x-m)^2+(y-n)^2\right]=\left(a^2-m x-n y\right)^2 \\
& \Rightarrow\left(a^2-m^2\right) x^2+\left(a^2-n^2\right) y^2-2 m n x y=a^2\left(a^2-m^2-n^2\right)
\end{aligned}
\]
对照方程 $x^2-2 x y+2 y^2=1$ 得：
\[
\begin{aligned}
& mn=a^2-m^2=a^2\left(a^2-m^2-n^2\right), a^2-n^2=2\left(a^2-m^2\right) . \\
& \Rightarrow mn=a^2\left(mn-n^2\right), a^2-m^2=mn, a^2-n^2=2 mn . \\
& \Rightarrow m=a^2(~m-n)=\left(m^2+mn\right)(m-n) .
\end{aligned}
\]
所以 $m^2-n^2=1, m n=\left(a^2-n^2\right)-\left(a^2-m^2\right)=1$ ．
若对照方程 $s x^2-p x y+t y^2=1$ 则：
\[
\begin{aligned}
& a^2-m^2=s\left[a^2\left(a^2-m^2-n^2\right)\right], \\
& a^2-n^2=t\left[a^2\left(a^2-m^2-n^2\right)\right], \\
& 2 m n=p\left[a^2\left(a^2-m^2-n^2\right)\right]
\end{aligned}
\]
按上述具体例子的解法过程，同样可以得出 $m$ 和 $n$ ．

其妙

居然成了南开自主招生数学试题了！（数据有改动）
blog.sina.com.cn/s/blog_71942ef00102vy4t.html