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kuing
Posted at 2013-9-22 20:42:18
如果 $A$, $B$, $C$ 三点共线，若 $B$ 在 $A$, $C$ 之间，设 $AB=x>0$, $BC=y>0$，则
\begin{align*}
\bigl(\vv{BC}\cdot\vv{CA}\bigr) :\bigl(\vv{CA}\cdot\vv{AB}\bigr) :\bigl(\vv{AB}\cdot\vv{BC}\bigr) &=\bigl(-y(x+y)\bigr):\bigl(-(x+y)x\bigr):(xy) \\
&=\left( 1+\frac yx \right):\left( 1+\frac xy \right):(-1),
\end{align*}
所以，若 $\bigl(\vv{BC}\cdot\vv{CA}\bigr):\bigl(\vv{CA}\cdot\vv{AB}\bigr):\bigl(\vv{AB}\cdot\vv{BC}\bigr) =p:q:r$ 且 $A$, $B$, $C$ 三点共线，则 $p$, $q$, $r$ 不能全部同号，而如果将比例化简为 $p$, $q>0$, $r=-1$，则还需要 $p$, $q>1$ 且 $(p-1)(q-1)=1\iff pq=p+q$。
如果 $A$, $B$, $C$ 构成三角形，设对应边长为 $a$, $b$, $c$，则
\begin{align*}
&\bigl(\vv{BC}\cdot\vv{CA}\bigr) :\bigl(\vv{CA}\cdot\vv{AB}\bigr) :\bigl(\vv{AB}\cdot\vv{BC}\bigr) = p:q:r \\
\iff{}&ab\cos C:bc\cos A:ca\cos B=p:q:r \\
\iff{}&(a^2+b^2-c^2):(b^2+c^2-a^2):(c^2+a^2-b^2)=p:q:r \\
\iff{}&b^2:c^2:a^2=(p+q):(q+r):(r+p),
\end{align*}
所以此时 $p+q$, $q+r$, $r+p$ 三者同号，如果都为正，那么 $\sqrt{p+q}$, $\sqrt{q+r}$, $\sqrt{r+p}$ 要构成三角形。 |
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嗯嗯。。。菜鸟一个