求证所有直线都交于一点

abababa

平面上给出$n \ge 4$条两两不平行的直线 ，每个交点处至少有三条直线通过，求证所有直线都交于一点

kuing

跟 forum.php?mod=viewthread&tid=2553 真像……

isee

回复 2# kuing


    对偶吧

其妙

回复 3# isee
那个仿射几何里的对偶原理？

isee

回复 4# 其妙


    嗯，我觉得是。

abababa

和2楼说的那个题是很像，发一位网友给的解答
假设交点不止一个，则必存在一点到某直线距离大于零，设这些距离中最小的为点$A$到直线$l$的距离$h$，垂足为$H$，因为$l$不过点$A$，但过点$A$至少有三条直线$b,c,d$，且所有直线两两不平行，所以$b,c,d$都和$l$相交，设三交点为$B,C,D$，于是必有两个在$H$同侧或与$H$重合，不妨设$B,C$在$H$同侧，顺序依次为$B,C,H$，$C,H$可重合，作$CP_1,HP_2$垂直直线$b$，垂足分别为$P_1,P_2$，则$\frac{CP_1}{HP_2}=\frac{BC}{BH}\le1$，当且仅当$C,H$重合时取等号，所以$CP_1 \le HP_2 < AH$，这与$AH$是所有这些距离中最小的矛盾

其妙

回复 6# abababa
这么强大！把他介绍到本论坛来噻！

abababa

发网友解答的与主楼相关的几个问题。
1.空间$n$点不全共面，求证存在一圆恰过三点。
2.平面上有$7$点，任意$4$点不共线，求恰过其中$3$点的直线至多有几条。
3.空间中有不共面的$n > 3$点，求证存在无穷多个平面，恰好通过其中两点。

hbghlyj

abababa 发表于 2017-4-9 06:34
平面上有$7$点，任意$4$点不共线，求恰过其中$3$点的直线至多有几条。

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en.wikipedia.org/wiki/Orchard-planting_problem