$\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{x}{e^x+1} dx$

tommywong

如题

战巡

回复 1# tommywong


小意思......
先换元$y=e^{-x}$，得
\[\int_0^{+\infty}\frac{x}{e^x+1}dx=\int_0^1\frac{-\ln(y)}{1+y}dy\]
再换重积分
\[\int_0^1\frac{-\ln(y)}{1+y}dy=\int_0^1dy\int_y^1\frac{dz}{z(1+y)}\]
调换顺序
\[=\int_0^1\frac{\ln(1+z)}{z}dz\]
\[=\int_0^1\sum_{k=0}^\infty(-1)^{k}\frac{z^k}{k+1}=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^{k}}{(k+1)^2}=\frac{\pi^2}{12}\]

其妙

回复 2# 战巡
，换元，无穷积分变为正常积分，再变为二重积分，然后又变为一重积分，最后用级数收官！妙！

tommywong

转自：bbs.emath.ac.cn/thread-5595-1-1.html

$\displaystyle A=\int_0^{+\infty} \frac{x}{e^x-1} dx,B=\int_0^{+\infty} \frac{x}{e^x+1} dx$

$\displaystyle B=\int_0^{+\infty} \frac{x}{e^x+1} dx=\int_0^{+\infty} \frac{x(e^x-1)}{e^{2x}-1} dx=\int_0^{+\infty} \frac{xe^x}{e^{2x}-1} dx - \int_0^{+\infty} \frac{x}{e^{2x}-1} dx$

$\displaystyle =\int_0^{+\infty} \frac{xe^x}{e^{2x}-1} dx - \frac{1}{4} A$

$\displaystyle A+B=\int_0^{+\infty} \frac{x}{e^x-1} dx+\int_0^{+\infty} \frac{x}{e^x+1} dx=2\int_0^{+\infty} \frac{xe^x}{e^{2x}-1} dx=\frac{1}{2}A+2B$

$\displaystyle B=\frac{1}{2}A=\frac{1}{2}\zeta(2)\Gamma(2)=\frac{\pi^2}{12}$

青青子衿

转自：
$\displaystyle A=\int_0^{+\infty} \frac{x}{e^x-1} dx$
...
tommywong 发表于 2014-6-9 21:00

欧拉又发现了伯努利数的生成函数（generating function）：
\[ \frac{x}{e^x-1} =\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{B_k}{k!}x^k\]
$\displaystyle A=\int_0^{+\infty} \frac{x}{e^x-1} dx=\int_0^{+\infty}\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{B_k}{k!}x^k$

hbghlyj

该帖子已被页面这个怎么积 - 超理论坛引用

其中，Bose-Einstein integral（波色-爱因斯坦积分）为:
\(
\color{red}{
\begin{split}
&\displaystyle I(p)\\
\\
\end{split}
\begin{split}
&\begin{gathered}
=\int_0^{+\infty} \frac{x^{p-1}}{e^x-1} dx\qquad p>1.\\
\end{gathered}\\
&=\zeta(p)\Gamma(p)&
\end{split}
}
\\
\displaystyle \color{blue}{I(2)=\int_0^{+\infty} \frac{x}{e^x-1} dx=\zeta(2)\Gamma(2)=\frac{\pi^2}{6}}\\
\)

链接：
http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=2801&extra=page%3D4
http://bbs.emath.ac.cn/thread-5595-1-1.html

Appendix to IV.6: Bose-Einstein Integrals：
http://www.physik.uni-regensburg.de/forschung/fabian/pages/mainframes/teaching/teaching_files/files%20of%20mf_statistical_physics/BE_integrals.pdf