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kuing
Posted 2013-9-23 13:47
$a$, $b$, $c\geqslant0$，则有 $a^2b+b^2c+c^2a+abc\leqslant4(a+b+c)^3/27$。
这是个经典不等式，下面由它的证明看看取等条件。
不失一般性，设 $(b-a)(b-c)\leqslant0$，那么
\[b(a^2+c^2+ac) - (a^2b+b^2c+c^2a)=c(a-b)(b-c)\geqslant0,\]
故
\begin{align*}
a^2b+b^2c+c^2a+abc&\leqslant b(a^2+c^2+ac)+abc\\
&=\frac12\cdot 2b(a+c)(a+c)\\
&\leqslant\frac12\left(\frac{2(a+b+c)}3\right)^3\\
&=\frac4{27}(a+b+c)^3.
\end{align*}
等号成立的条件为 $c(a-b)(b-c)=0$ 且 $2b=a+c$，即 $c=0$ 且 $a=2b$ 或 $a=b=c$。
回到1楼的题目，由于不能取 $0$，那么只能是 $a=b=c=1$ 取等。 |
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其妙
Posted 2015-7-30 09:56
，，
