请教如何利用高中知识比较这两数大小

数学小黄

比较 $e^3$ 与 $\pi^e$ 大小关系（高中）

kuing

2014湖北理数21，已经有答案了
zxxk.com/gaokao/2014/showinfo.aspx?Page=13&InfoID=343250

数学小黄

是的，还有没有其他解答方法啊

青青子衿

回复 3# 数学小黄
解 根据指数函数不等式
\[
\mathrm{e}^{\frac{x-e}{e}} \geqslant 1+\frac{x-\mathrm{e}}{\mathrm{e}}
\]
式中当且仅当 $x=\mathrm{e}$ 时使用等号，将不等式简化成
\[
\mathrm{e}^{\frac{x}{e}} \geqslant x \quad \text { 或 } \quad \mathrm{e}^x \geqslant x^{\mathrm{e}}
\]
在由函数单调性比较，这样可能看上去会简单(ps:因为不用求导)

踏歌而来

$e^3>3^e,而3^e<π^e，所以，用楼上的方法不能得出e^3与π^e的关系噢。$

踏歌而来

回复 2# kuing

谢谢！

$标准答案中，怎么想起来令 x=e^2/π呢？这后一步实在想不出来。$
特别是，也难从后对前推，被一个不等式拦住了去路。

有没有替代的方式呢？

踏歌而来

想明白了。

$f(x)=lnx/x有一最大值点x=e，所以lnx/x≤1/e。$
$标准答案中的小于e的判断没有必要，只要x≠e，那就是小于，即使x=e，“≤”也包括了。$

$如果x取成π，lnx≤π/e，elnπ≤π，得出π^e≤e^π这个我们不需要的结论，我们需要知道的是$
$elnπ≥3还是elnπ≤3。$
$由此看来，x可能要取成1/π才满足我们的需要。$
$按此方向，我们就可探索出x取e^2/π。$