数列不等式

guanmo1

$a_1=1,\left\{a_{n}\right\}$ 单调增， $b_{n}=\frac{1}{\sqrt{a_{n+1}}}\left(1-\frac{a_n}{a_{n+1}}\right), S_{n}$ 为 $b_{n}$ 的前 n 项和，求证： $S_{n}<2$

kuing

很简单啊，设 $c_n=1/\sqrt{a_n}$，则 $1=c_1>c_2>\cdots>0$，于是
\[ b_n=c_{n+1}\left( 1-\frac{c_{n+1}^2}{c_n^2} \right)=\frac{c_{n+1}(c_n+c_{n+1})(c_n-c_{n+1})}{c_n^2}<2(c_n-c_{n+1}) ,\]
所以
\[S_n<2(c_1-c_{n+1})<2 .\]

零定义

回复 3# kuing
简单的留给我玩嘛...

kuing

回复 4# 零定义

谁要你老是睡
再说，每道题都不会被玩完，总可以继续玩……

第一章

kk玩裂项，睡神可以玩等比啊

其妙

回复  零定义

谁要你老是睡
再说，每道题都不会被玩完，总可以继续玩…… ...
kuing 发表于 2013-9-23 15:18

睡神发表于 2013-9-23 13:08，
都还没睡够一个小时，就被kk破了

Tesla35

设 $a_i\left(i \inN_{+}, i \leqslant 2010\right)$ 是非负实数，且 $\sum_{i=1}^{2010} a_i=1$ ，则 $\sum_{i \neq j, i \mid j} a_i a_j$ 的最大值是

kuing

回复 8# Tesla35

这是提问？怎么不开新贴……

guanmo1

回复 8# Tesla35


    请问这份卷子来源是？

Tesla35

回复 10# guanmo1


    据说是叫《奥数能力测试》QQ群里看到这个卷子的

Tesla35

类似题：
kkkkuingggg.haotui.com/viewthread.php?tid=1442

guanmo1

回复 11# Tesla35


    哦，知道了，谢谢。