n+1个砝码按质量依次放在天平较轻一端，求证最后天平平衡

abababa

$n+1$个质量为正整数的砝码总质量为$2n$，按质量降序从左到右排列，开始天平两端平衡，从最左边依次取砝码放在天平较轻的一端，若天平平衡则放任意一端，求证最后天平仍平衡

abababa

刚刚问了一位网友，他给了一个解答。为了不影响别人的思路，先不发上来。想看看其他网友的解答。我自己没想出来。

其妙

相关问题：
已知用克数都是正整数的k块砝码和一台天平可以称出质量为1,2,3,…,1093克的所有物品。
（1）求$k$的最小值；
（2）当$k$取最小值时，这$k$块砝码的组成方式是否是唯一确定的？并证明你的结论。
            
            变式：题目改为：
已知用克数都是正整数的k块砝码和一台天平可以称出质量为1,2,3,…,2014克的所有物品。
（1）求$k$的最小值；
（2）当$k$取最小值时，这$k$块砝码的组成方式是否是唯一确定的？并证明你的结论。

abababa

我把网友的解答发上来，但我觉得他这个解答有问题，最后那两行，如果按他说的分配进两个集合，那样砝码的大小顺序就会改变
当$n = 1, 2$时显然，当$n \ge 3$时
若所有$n+1$个砝码中至多有一个质量为$1$，则其余$n$个质量至少为$2$，总质量$S \ge 2n+1 > 2n$矛盾
所以所有砝码中至少有$2$个质量是$1$
假设$n = k$时成立，即任意$n+1 = k+1$个总质量为$2n = 2k$的砝码都能使天平平衡
则当$n = k+2$时，共$n+1 = k+3$个砝码，总质量为$2n = 2k+4$
由归纳假设知前$k+1$个总质量为$2k$的砝码能使天平平衡，即能分为$A, B$集合使得$\displaystyle\sum_{\alpha \in A}\alpha = \displaystyle\sum_{\beta \in B}\beta$
所以对于前$k+1$个总质量为$2k+2$的砝码
若多出的$2$质量分为两个$1$分别分配进$\alpha \in A, \beta \in B$，则天平平衡
若多出的$2$质量单独分配进$\alpha \in A$或$\beta \in B$，则天平两端相差$2$
此时用剩余的两个质量为$1$的砝码调节即可，由归纳法知对任意$n$都能使天平平衡

abababa

请大家再看一看这个题，我觉得网友的解答是有问题的

其妙

回复 3# 其妙
这题如何做？

realnumber

命题加四个字,修改为：大于等于n+1个质量为正整数的砝码总质量为2n，按质量降序从左到右排列，开始天平两端平衡，从最左边依次取砝码放在天平较轻的一端，若天平平衡则放任意一端，求证最后天平仍平衡.
证明:容易得最轻的砝码质量为1,并设除1以外最轻的质量为a,可得至少有a个质量为1的砝码.
n=1,2时,显然.
假设n≤k时,命题成立.
当n=k+1时,若a为偶数,暂时去掉a,此时有k个砝码,总质量为2M=2k+2-a,符合归纳假设,
那么可以按要求分成两部分依次放置在天平上,此时最上方分别有s,t个质量为1的砝码,
不妨设0≤s≤t,(自然a≤s+t),除掉1以外的砝码质量为M-s,M-t,(显然M-s≥M-t)那么只需要把质量为a的,放在M-t上,并把上面的0.5a个1移动到另一边,如此完成了偶数a,n=k+1的递推要求.
当a为奇数时候,暂时去掉a,和一个1,余下类似.
因此按数学归纳法,命题成立.

战巡

回复 5# abababa


我看没啥问题，顶多是表达上不太清楚

首先$n=1$时显然
然后归纳，设$n=k$时成立，当$n=k+1$时，相当于在$n=k$基础上加了一个砝码，$2$质量

这时有两种方法
一是加了一个$1$质量砝码，另外$1$质量随便分配到之前$n+1$个砝码的任意一个上面
此时不管那个被加了$1$质量的砝码在哪边，只要把多出来的这个$1$质量砝码放到它对面就行了，肯定会平

二是直接加了一个$2$质量砝码，这时比较麻烦，要用到之前证明的至少有两个$1$质量砝码
考察这两个$1$质量砝码在之前的分布情况，要么它们放在同一边，要么放在两边
假设放同一边，则此时如果把它们同时拿下来，补上这个新的$2$质量砝码，天平仍然是平衡的，然后再把两个$1$质量砝码放两边，平衡了
假设放两边，把它们同时拿下来，天平仍然平衡，把$2$质量砝码随便放一边，再把这两个$1$质量砝码同时放另一边，还是平衡

abababa

回复 8# 战巡
我还是不太理解这个，就是在于多出的2质量，不是一定要作为一个砝码存在，而是可能被分配进前面几个砝码当中，比如前面的砝码本来是10,8,7,4，如果多出的2质量分配进了7里，那7就变成9了，这样就改变了原来砝码排放的顺序，假设10放左盘，原来从左到右拿的时候本来应该先将8放右盘，但是现在多了一个9，就先要将9放在右盘，虽然接下来仍然是将8放在右盘，但是要保证这个顺序还是需要证明才行，我觉得那个证明就是这里没有说清楚

战巡

回复 9# abababa


多出2质量的同时必须多1个砝码啊，要不然你还是k+1个砝码，而n=k+1时要求k+2个砝码

还有一种情况就是从某处（可以是从多个砝码）借了$p$质量过来，组成一个$p+1$或$p+2$的砝码
但无论如何最终还剩下两个1质量砝码时要么平衡，要么差2

realnumber

7楼还有没漏洞?

abababa

回复 10# 战巡
但是要增加一个砝码，也有可能是后面，比如说后面还有一个6质量的砝码，可能是将2分配到7里变成9，然后将6拆成两个3，也能保证砝码的数量正好

就是觉得一旦将多出的质量向已经放在盘里的砝码分配，就有可能改变它们的质量顺序，原来本来放左盘的就有可能放在右盘里，我觉得要证明砝码放在左盘还是右盘在增加质量后不会改变左右，或者从某个砝码起，后面所有的砝码原来在左边的都去了右边，原来在右边的也都去了左边

abababa

回复 7# realnumber

我还是觉得顺序上有问题，因为$a$质量还没有上盘，那么盘上就不能有$1$质量，如果$a$质量上了盘，那么左右盘里的$1$的数量也会改变才对

realnumber

有的,平衡后a是插入的,不是把a放最上,因为a是次轻的,一定在1下,在其它上面.

abababa

回复 14# realnumber
有点理解了，偶数的时候我觉得7楼的$0.5a$个$1$的说明有点问题，我按7楼的思路再写一下
假设$M-s$放左盘，$M-t$放右盘，现在把$a$放右盘，两盘质量差是$(M-t+a)-(M-s)=s-t+a$，总共还有$s+t$个$1$质量
必须证明$s+t\ge s-t+a$，这样才有足够的$1$来平衡天平
这就是证明$2t \ge a$，因为$a \le s+t,s \le t$，所以能证明
还必须证明$(s+t)-(s-t+a)=2t-a$是偶数，这样平衡后多出来的$1$才能平均分配到两个盘里再次平衡，当$a$时偶数时也成立

也有可能两盘质量差是$t-s-a$，就是$a$质量上盘后仍然是右盘轻
这时就要证明$s+t \ge t-s-a$和$(s+t)-(t-s-a)=2s-a$是偶数
就是必须证明$2s \ge -a$，这也成立
奇数的时候还没细看

realnumber

出现a时,必定有a个1,又t≥s,t+s≥a,保证了t≥0.5a,
你说的7楼已经考虑进去了.