微分算子$D$和平移变换$S_a$

其妙

对任意可导函数$f(x)$，我们知道微分算子$D$（微分变换）有如下性质：$Df(x)=f'(x)$，它有性质$D^n=O$，其中$O$为零算子。
定义平移变换$S_a（a\in R）$有如下性质：$S_af(x)=f(x+a)$，
那么平移变换$S_a$可以写作微分变换D的实系数多项式$g(D)$，试求出多项式$g(D)$。

caijinzhi

能否用较简单的函数（一次、二次）尝试？
对于常函数f(x)=c g(D)=0 (不作用)
一次 ....
感觉和泰勒级数有某种联系。

tommywong

$\displaystyle f(a)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} f^{(k)} (x) (a-x)^k$

$\displaystyle f(a+x)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} f^{(k)}(x) a^k$

$\displaystyle S_a=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} a^k D^k$

其妙

回复 2# caijinzhi
，感觉灵敏

其妙

回复 3# tommywong
，，

LLLYSL

算子其实对应一种操作，这是一个更加广泛意义上的概念。如果学过线性代数，那么算子就好像是线性代数里面的线性变换。当然，有量子力学知识的人应该明白，微观世界的力学量都是用算符来描述，其实就是算子。既然算子是一个很广泛意义上的一种运算，所以它就具有一定抽象性（这是必须的，算子理论的第一次全面讨论一般都是在泛函分析里面，学数学的应该明白泛函的难度）。所以，判断两个算符是否一样，就是看作用在一个任意函数上面，是否会产生相同的另一个函数（有点像力学的合力与分力的关系）

caijinzhi

精彩！

其妙

精彩！
caijinzhi 发表于 2014-7-6 12:34

题目虽然极其简单，但是结果很精彩，很有韵味！

icesheep

这得是解析函数那么死板的函数才行得通

其妙

回复 9# icesheep
嘻嘻，不过这个简单的性质优美吗？还能找一找既简单又优美的数学性质的例子呢？