一道数列题1

转化与化归

已知存在正整数列 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 满足 $a_1 a_2, a_2 a_3, \cdots, a_n a_1$ 是一个公差非零的等差数列，求 $n$

其妙

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$n=3$是可行的，其它的$n$没去考虑了。
例如：$a_1=3,a_2=2,a_3=6$，则$a_1a_2=6,a_2a_3=12,a_3a_1=18$，公差为$6$

kuing

$n=4$ 不行。
假设存在，则有 $a_1a_2+a_3a_4=2a_2a_3$, $a_2a_3+a_4a_1=2a_3a_4$，即
\[
\frac{a_1}{a_3}+\frac{a_4}{a_2}=\frac{a_2}{a_4}+\frac{a_1}{a_3}=2\riff \frac{a_4}{a_2}=\frac{a_2}{a_4}\riff a_2=a_4,a_1=a_3,
\]
于是那个数列公差为 $0$，矛盾。

kuing

但是 $n=5$ 又存在，比如 $a_1=21$, $a_2=135$, $a_3=35$, $a_4=189$, $a_5=45$。

其妙

$n=2$显然不行,那么意思是分奇数偶数？奇数行，偶数不行？

kuing

$n=6$ 真的不行，假设存在，类似于3楼那样，有
\[\frac{a_1}{a_3}+\frac{a_4}{a_2}=\frac{a_2}{a_4}+\frac{a_5}{a_3}=\frac{a_3}{a_5}+\frac{a_6}{a_4}=\frac{a_4}{a_6}+\frac{a_1}{a_5}=2,\]
令 $b_1=a_1/a_3$, $b_2=a_2/a_4$, $b_3=a_3/a_5$, $b_4=a_4/a_6$，则上式化为
\[b_1+\frac1{b_2}=b_2+\frac1{b_3}=b_3+\frac1{b_4}=b_4+b_1b_3=2,\]
解这个方程组，共有三组解
\begin{gather*}
b_1=b_2=b_3=b_4=1; \\
b_1=\frac12\bigl(5-\sqrt5\bigr),b_2=\frac12\bigl(1+\sqrt5\bigr),b_3=\frac12\bigl(3+\sqrt5\bigr),b_4=\frac12\bigl(-1-\sqrt5\bigr);\\
b_1=\frac12\bigl(5+\sqrt5\bigr),b_2=\frac12\bigl(1-\sqrt5\bigr),b_3=\frac12\bigl(3-\sqrt5\bigr),b_4=\frac12\bigl(\sqrt5-1\bigr).
\end{gather*}
但是 $b_i$ 应为有理数，故此后两组解要舍去，因此只能得到 $a_1=a_3=a_5$, $a_2=a_4=a_6$，这样那个数列又是公差为 $0$，矛盾。

转化与化归

期待大家继续发力！

其妙

期待你还是把解答贴出来吧

转化与化归

回复 8# 其妙
没有解答，我是在群里看到的！

转化与化归

回复 4# kuing
这组解是怎么找出来的？

kuing

$n$ 为奇数时必定存在。

下面讲讲构造方法，我们用 $n=7$ 来作例子。

仿上，我们得到
\[\frac{a_1}{a_3}+\frac{a_4}{a_2}=\frac{a_2}{a_4}+\frac{a_5}{a_3}=\frac{a_3}{a_5}+\frac{a_6}{a_4}=\frac{a_4}{a_6}+\frac{a_7}{a_5}=\frac{a_5}{a_7}+\frac{a_1}{a_6}=2,\]
注意到
\[\frac12+\frac32=\frac23+\frac43=\frac34+\frac54=\frac45+\frac65=\frac56+\frac76=2,\]
我们令
\[\frac{a_1}{a_3}=\frac12,\frac{a_2}{a_4}=\frac23,\frac{a_3}{a_5}=\frac34,\frac{a_4}{a_6}=\frac45,\frac{a_5}{a_7}=\frac56,\frac{a_1}{a_6}=\frac76,\]
这个方程组一定有正整数解，具体地，先让 $a_7=x$，则由以上等式依次计算有
\[a_7=x\riff a_5=\frac{5x}6\riff a_3=\frac{5x}8\riff a_1=\frac{5x}{16}\riff a_6=\frac{15x}{56}\riff a_4=\frac{3x}{14}\riff a_2=\frac x7,\]
再取 $x$ 为上式各分母的公倍数，比如说取 $x=336$，即得一组解
\[a_1=105,a_2=48,a_3=210,a_4=72,a_5=280,a_6=90,a_7=336.\]

可以看出 $n$ 为奇数时都可以这样构造，而 $n$ 为偶数时在倒数第二步计算时将会出现“循环”，不能这样构造，但是是否一定不存在还不好说。

转化与化归

回复 11# kuing
解得漂亮！真的牛！

kuing

突然才发现原来 $n$ 为偶数也很简单。
当 $n$ 为偶数时，类似于6楼那样，先是有
\begin{equation}\label{20130624nwos}
\frac{a_1}{a_3}+\frac{a_4}{a_2}=\frac{a_2}{a_4}+\frac{a_5}{a_3}=\frac{a_3}{a_5}+\frac{a_6}{a_4}=\cdots=\frac{a_{n-2}}{a_n}+\frac{a_1}{a_{n-1}}=2,
\end{equation}
令
\[b_k=\frac{a_k}{a_{k+2}}, \quad(k=1,2,\ldots,n-2)\]
那么
\[\frac{a_1}{a_{n-1}}=b_1b_3\cdots b_{n-3},\]
于是式 \eqref{20130624nwos} 化为
\[b_1+\frac1{b_2}=b_2+\frac1{b_3}=b_3+\frac1{b_4}=\cdots=b_{n-2}+b_1b_3\cdots b_{n-3}=2,\]
若 $b_1=1$，则显然所有 $b_k$ 都为 $1$，这样将得到 $a_1=a_3=\cdots=a_{n-1}$, $a_2=a_4=\cdots=a_n$，于是那个数列的公差为 $0$，不符合；
若 $0<b_1<1$，则由 $b_1+1/b_2=2$ 得 $0<b_2<1$，如此类推得所有 $b_k$ 都有 $0<b_k<1$，这与 $b_{n-2}+b_1b_3\cdots b_{n-3}=2$ 矛盾；
若 $b_1>1$ 也同理推出矛盾。
综上，$n$ 为偶数时不存在那样的数列。

kuing

这样，问题算是解决了……
哎，都怪6#那会太蠢，竟然去解方程组……

isee

绝对是某压轴题中的一问

这个推理漂亮

kuing

回复 15# isee

这也只是一问？

其妙

kuing韧劲强啊！
看来那个猜想真的正确

转化与化归

回复 14# kuing
解的漂亮，终于把活干完了！