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Last edited by hbghlyj 2025-5-15 22:53广雅杨(5257*****) 2014-8-18 23:22:02
设 $a$, $b$, $c>1$，且
\[\frac{b+c}{a^2-1}+\frac{c+a}{b^2-1}+\frac{a+b}{c^2-1}=1,\]
求下列代数式的最小值
\[\left( \frac{bc+1}{a^2-1} \right)^2+\left( \frac{ca+1}{b^2-1} \right)^2+\left( \frac{ab+1}{c^2-1} \right)^2.\]
解：记
\[f=\frac{bc+1}{a^2-1}+\frac{ca+1}{b^2-1}+\frac{ab+1}{c^2-1},\]
先求 $f$ 的最小值，由条件、柯西不等式及均值不等式，有
\begin{align*}
f^2-1&=\left( \sum\frac{bc+1}{a^2-1}-\sum\frac{b+c}{a^2-1} \right)\left( \sum\frac{bc+1}{a^2-1}+\sum\frac{b+c}{a^2-1} \right) \\
& =\left( \sum\frac{(b-1)(c-1)}{a^2-1} \right)\left( \sum\frac{(b+1)(c+1)}{a^2-1} \right) \\
& \geqslant \left( \sum\frac{\sqrt{(b^2-1)(c^2-1)}}{a^2-1} \right)^2 \\
& \geqslant 9,
\end{align*}
得到
\[f\geqslant \sqrt{10},\]
当 $a=b=c=3+\sqrt{10}$ 时取等号，即 $f$ 的最小值为 $\sqrt{10}$。
而对于原式则有
\[\left( \frac{bc+1}{a^2-1} \right)^2+\left( \frac{ca+1}{b^2-1} \right)^2+\left( \frac{ab+1}{c^2-1} \right)^2\geqslant \frac13f^2\geqslant\frac{10}3,\]
也是当 $a=b=c=3+\sqrt{10}$ 时取等，故原式的最小值为 $10/3$。 |
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