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沪教师—缘来(1589****) 16:42:44
题目：设 $x_1$, $x_2$, \ldots, $x_n$（$n\geqslant3$）是非负实数且 $x_1+x_2+\cdots+x_n=1$，求证
\[x_1^2x_2+x_2^2x_3+\cdots+x_{n-1}^2x_n+x_n^2x_1\leqslant \frac4{27}.\]
证明：首先我们有熟知的不等式：若 $a$, $b$, $c\geqslant0$，则有 $a^2b+b^2c+c^2a+abc\leqslant4(a+b+c)^3/27$
（其证明见 kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=281），
可见当 $n=3$ 时原不等式成立。
当 $n\geqslant 4$ 时，由轮换对称性，不妨设 $x_1=\max\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$，记 $y=x_2+x_3+\cdots +x_{n-1}$，则 $x_1+y+x_n=1$，显然有
\begin{align*}
x_1^2x_2+x_2^2x_3+\cdots +x_{n-2}^2x_{n-1}&\leqslant x_1^2y, \\
x_{n-1}^2x_n&\leqslant y^2x_n,
\end{align*}
由此结合 $n=3$ 时的结论即有
\[x_1^2x_2+x_2^2x_3+\cdots +x_{n-1}^2x_n+x_n^2x_1\leqslant x_1^2y+y^2x_n+x_n^2x_1\leqslant \frac4{27},\]
即得证。 |
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