证$\frac 1{n+1}+\frac 1{n+2}+\cdots+\frac 1{3n+1}<\frac 98$

isee

设$n$为自然数，求证\[\frac 1{n+1}+\frac 1{n+2}+\cdots+\frac 1{3n+1}<\frac 98.\]

爪机专用

又是这种，已经玩烂了。
直接求极限吧

爪机专用

可以参考这个：forum.php?mod=viewthread&tid=1736

isee

回复 2# 爪机专用


    说明这种题的确是难度大

战巡

回复 4# isee


出烂了的题难度就不会大，早就有套路完爆它了
一眼看出极限为$ln(3)<\frac{9}{8}$

isee

回复 5# 战巡


    有没有具体的过程，我学习一下，，，谢谢

tommywong

回复 6# isee


    $\displaystyle \int_1^{2n+1} \frac{1}{n+x} dx$

kuing

回复 6# isee

根本没看3#链接……

其妙

不使用牛莱公式和欧拉常数来证明

其妙

简单的不等式：设$n$为自然数，$n\geqslant2$，求证$\frac 1{n}+\frac 1{n+1}+\frac 1{n+2}+\cdots+\frac 1{n^2}>1$

isee

回复  isee

根本没看3#链接……
kuing 发表于 2014-9-20 11:47

哈哈哈，当年吧，直接给忽略了~

在 $\ln (x+1)<x$ 中分别令 $x=\frac 1{n}, x=-\frac 1{n}$ 有
$$\ln \frac {n+1}{n}<\frac 1{n}<\ln \frac {n}{n-1}.$$
于是
\begin{align*} \ln \frac {n+2}{n+1}&<\frac 1{n+1}<\ln \frac {n+1}{n}\\[1em]
\ln \frac {n+3}{n+2}&<\frac 1{n+2}<\ln \frac {n+2}{n+1}\\[1em]
&\cdots\qquad \qquad \cdots\\[1em]
\ln \frac {3n+2}{3n+1}&<\frac 1{n+2n+1}<\ln \frac {3n+1}{3n}
\end{align*}
这 $2n+1$ 个式子相加，便有
\begin{align*} \ln \frac {3n+2}{3n+1}&<\frac 1{n+1}+\frac 1{n+2}+\cdots+\frac 1{3n+1}<\ln \frac {3n+1}{n}, \end{align*}
由夹逼法则，知
$$\lim_{n \to \infty}\frac 1{n+1}+\frac 1{n+2}+\cdots+\frac 1{3n+1}=\ln 3.$$

isee

回复  isee


    $\displaystyle \int_1^{2n+1} \frac{1}{n+x} dx$
tommywong 发表于 2014-9-20 10:28

是指 和式 小于这个 积分式 吧？

isee

回复 5# 战巡

现在回头一看，结果就在5#


又一个源自知乎提问，好像是个高考题采用过的

题： $\lim_{n \to \infty}\frac 1{4n+1}+\frac 1{4n+2}+\cdots+\frac 1{4n+n}.$

还可以利用 $\ln (x+1)<x$ 来写，高中生都可以看明白.

在 $\ln (x+1)<x$ 中分别令 $$x=\frac 1{4n},x=-\frac 1{4n}$$ 有

$$\ln \frac {4n+1}{4n}<\frac 1{4n}<\ln \frac {4n}{4n-1}.$$

于是

\begin{align*} \ln \frac {4n+2}{4n+1}&<\frac 1{4n+1}<\ln \frac {4n+1}{4n}\\[1em] \ln \frac {4n+3}{4n+2}&<\frac 1{4n+2}<\ln \frac {4n+2}{4n+1}\\[1em] &\cdots\qquad \qquad \cdots\\[1em] \ln \frac {5n+1}{4n+n}&<\frac 1{4n+n}<\ln \frac {5n}{5n-1} \end{align*}

这 $n$ 个式子相加，便有

\begin{align*} \ln \frac {5n+1}{4n+1}&<\frac 1{4n+1}+\frac 1{4n+2}+\cdots+\frac 1{4n+n}<\ln \frac 54, \end{align*}

由夹逼法则，知

$$\lim_{n \to \infty}\frac 1{4n+1}+\frac 1{4n+2}+\cdots+\frac 1{4n+n}=\ln \frac 54.$$

isee

主楼怎么转化为定积分呢，疑问中