寻求数论解法

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证明不可能存在自然数$m,n,k$使得下列三式同时成立
$$
\left\{\begin{array}{l}
(x+1)^2+y^2=m^2 \\
(x-1)^2+y^2=n^2 \\
x^2+(y-\sqrt{3})^2=k^2
\end{array}\right.(x, y, z \inR)
$$

kuing

建议改成“正整数”，否则按现代的自然数定义包含零，则存在 `(m,n,k)=(0,2,2)` 及 `(x,y)=(-1,0)`。

kuing

几何意义就是：在平面上，正三角形边长为 `2`，则不存在一点到三顶点距离均为正整数。

根据 forum.php?mod=viewthread&tid=7 的等式，1# 方程组中的 `m`, `n`, `k` 必满足
\[3(m^2+n^2+k^2)^2-6(m^4+n^4+k^4)=(8-m^2-n^2-k^2)^2,\]
（当然也可以通过加减消元得出）
于是等价于证明上式不存在正整数解。