【这只是个旧测试帖】$3(x^2+y^2+z^2)^2-6(x^4+y^4+z^4)=(2t^2-x^2-y^2-z^2)^2$

kuing

平面上，正三角形边长 $t$，某点到三顶点距离 $x$, $y$, $z$，则
\[3(x^2+y^2+z^2)^2-6(x^4+y^4+z^4)=(2t^2-x^2-y^2-z^2)^2\]

isee

来看看

不会也是5吧

猜错了，15.

魔幻水果

我来看看我的UID

kuing

意头不错……

测试号

测试一下

kuing

$(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2 - (a^2+2bc)(b^2+2ca)(c^2+2ab)=(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2 $

青青子衿

kuing 发表于 2015-9-2 18:38
$(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2 - (a^2+2bc)(b^2+2ca)(c^2+2ab)=(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2 $

本帖是测试帖吗？

kuing

青青子衿 发表于 2022-8-13 15:10
本帖是测试帖吗？

我也忘了为啥会在这儿回 6# 的恒等式……

hbghlyj

Pompeiu's theorem
通过点 P 和到等边三角形顶点的长度 PA、PB 和 PC，可以定义两个等边三角形，其边长分别为
\[t=\sqrt{\frac {1}{2}\left(PA^{2}+PB^{2}+PC^{2}\pm 4{\sqrt {3}}\triangle _{(PA,PB,PC)}\right)}\]
符号 △ 表示边长分别为 PA、PB 和 PC 的三角形的面积。

hbghlyj

def dist2(P1, P2):
    return (P1[0] - P2[0])**2 + (P1[1] - P2[1])**2
x, y = symbols('x, y')
A, B, C = (2, 0), (-1, sqrt(3)), (-1, -sqrt(3))
P = (x, y)
AP2, BP2, CP2 = dist2(A, P), dist2(B, P), dist2(C, P)
print('AP^2 =', expand(AP2))
print('BP^2 =', expand(BP2))
print('CP^2 =', expand(CP2))
fA = AP2 - BP2 - CP2
print('f_A =', expand(fA))
print('4*BP^2*CP^2 - f_A^2 =', factor(4*BP2*CP2 - fA**2))
# AP2 = BP2 + CP2 if and only if f_A >= 0 and P is on circle
fB = BP2 - AP2 - CP2
print('f_B =', expand(fB))
print('4*AP^2*CP^2 - f_B^2 =', factor(4*AP2*CP2 - fB**2))
# BP2 = AP2 + CP2 if and only if f_B >= 0 and P is on circle
fC = CP2 - AP2 - BP2
print('f_C =', expand(fC))
print('4*AP^2*BP^2 - f_C^2 =', factor(4*AP2*BP2 - fC**2))
# CP2 = AP2 + BP2 if and only if f_C >= 0 and P is on circle
print('f_A and f_B are tangent on', (solve(resultant(fA, fB, y)), solve(resultant(fA, fB, x))))
print('f_A and f_C are tangent on', (solve(resultant(fA, fC, y)), solve(resultant(fA, fC, x))))
print('f_B and f_C are tangent on', (solve(resultant(fB, fC, y)), solve(resultant(fB, fC, x))))

hbghlyj

设 $\triangle A B C$ 为一个等边三角形，面积为 $S_0$，$P$ 为其内部一点。
$S^*$ 表示边长为 $P A,P B,P C$ 的三角形的面积，$S_1,S_2,S_3$ 分别为 $\triangle B C P,\triangle C A P,\triangle A B P$ 的面积。则
\[
S^* S_0=S_1 S_2+S_2 S_3+S_3 S_1
\]