|
|
鄂L爱好者求学(1448******) 18:19:00
kk,这个14题你会怎么解啊
题目：已知 $a$, $b$, $c$ 为正整数，关于 $x$ 的方程 $ax^2+bx+c=0$ 有两个不相等的实数根，且两根均大于 $-1/2$，则 $a+b+c$ 的最小值为？
当时没想到好的解法，虽然线性规划勉强可以，但依靠画图神马的我还是不喜欢，刚才没事又再想，终于想到比较像样的代数解法。
解：由 $a$, $b$, $c$ 为正可知两根都必为负，故不妨设两根为 $x_1$, $x_2$ 且 $-1/2<x_1<x_2<0$，令 $f(x)=ax^2+bx+c$，则必有
\[f\left( -\frac12 \right)>0,\]
故由 $a$, $b$, $c$ 为整数有
\[f\left( -\frac12 \right)=\frac{a-2b+4c}4
\in\left\{\frac14,\frac24,\frac34,\ldots\right\}, \quad (*) \]
所以
\[f\left( -\frac12 \right)\geqslant \frac14,\]
由于 $f(x)$ 可以写成 $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$，且 $f(0)=c\geqslant 1$，于是由均值有
\begin{align*}
\frac14&\leqslant f(0)f(0)f\left( -\frac12 \right) \\
& =a(-x_1)(-x_2)\cdot a(-x_1)(-x_2)\cdot a\left( -\frac12-x_1 \right)\left( -\frac12-x_2 \right) \\
& =\frac{a^3}4\cdot (-x_1)(-x_1)(1+2x_1)\cdot (-x_2)(-x_2)(1+2x_2) \\
& \leqslant \frac{a^3}4\cdot \left( \frac13 \right)^3\cdot \left( \frac13 \right)^3 \\
& =\frac14\left( \frac a9 \right)^3,
\end{align*}
由 $x_1\ne x_2$ 可知上式取不了等号，故得到 $a\geqslant 10$。
假设 $a=10$，代入上面有
\[f\left( -\frac12 \right)<\frac1{4f(0)f(0)}\left( \frac{10}9 \right)^3\leqslant \frac14\left( \frac{10}9 \right)^3<\frac12,\]
故再由 (*) 知 $f(-1/2)=1/4$，即 $a-2b+4c=1$，此时左边为偶数右边为奇数，矛盾！所以必有 $a\geqslant 11$。
那么由柯西不等式得
\begin{align*}
a+b+c&=f(1) \\
& =a\bigl(1+(-x_1)\bigr)\bigl(1+(-x_2)\bigr) \\
& \geqslant a\bigl(1+\sqrt{x_1x_2}\bigr)^2 \\
& =\bigl(\sqrt a+\sqrt{f(0)}\bigr)^2 \\
& \geqslant \bigl(\sqrt{11}+1\bigr)^2 \\
& =12+2\sqrt{11} \\
& >18,
\end{align*}
所以
\[a+b+c\geqslant 19,\]
最后举一个例子，方程 $11x^2+7x+1=0$ 的两根为
\[x=\frac{-7\pm\sqrt5}{22}>\frac{-7-3}{22}>-\frac12,\]
满足题意且 $a+b+c=19$，故所求的最小值就是 $19$。 |
|
羊1234
Posted at 2014-11-23 21:36:52
