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设$f(x)$在$[a,b]$上有定义，且对$[a,b]$上任意点$x,y$，有$\abs{f(x)-f(y)}\le\abs{x-y}^{\alpha}, \alpha>0$，求证$\abs{\int_{a}^{b}f(x)dx-(b-a)f(a)}\le\frac{1}{\alpha+1}(b-a)^{\alpha+1}$
我先证明了$f(x)$在$[a,b]$上可积，只要证明$f(x)$在$[a,b]$上连续，由定义知只要存在$\delta$使得对任意$\varepsilon>0$，当$\abs{x-y}<\delta$时有$\abs{f(x)-f(y)} < \varepsilon$
然后因为$\abs{f(x)-f(y)} \le \abs{x-y}^{\alpha}$，这样就只要存在$\delta$使得当$\abs{x-y}<\delta$时有$\abs{x-y}^{\alpha}<\varepsilon$
只要$\delta^{\alpha} < \varepsilon$，只要$\delta < \varepsilon^{\frac{1}{\alpha}}$，这样就存在$\delta$了，于是$f(x)$在$[a,b]$上连续，就可积了
然后我想用积分中值定理来做，但是没做出来，请教怎么来解 |
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kuing
发表于 2014-12-12 16:48
