为什么2*MN的斜率-BE的斜率为定值？

第一章

如图，点$E$在椭圆上运动，$A,B$为长轴端点，$C,D$为短轴端点，则$2k_{MN}-k_{BE}$的斜率为定值？有何背景？

第一章

定值是$\frac{b}{a}$

第一章

圆里面也成立，结果是$1$，明天再研究下。

Tesla35

回复 3# 第一章

拓展了一下这个结论：

kuing

回复 4# Tesla35

昨晚也想过这个，只是也没看出背景是什么，可能跟调和线束神马的有点关系

abababa

发一位网友的证明，他的草图中没标$C,D,P$这三个点，是我自己加上去的，证明过程中也没用上这三个点

$ABFN$是调和点列，于是$\frac{1}{AF}+\frac{1}{AN}=\frac{2}{AB}$，所以$\frac{BN}{AF}+\frac{BN}{AN}=\frac{2BN}{AB}$
但$\frac{BN}{AN}=\frac{BF}{AF}$，于是$\frac{BN}{AF}+\frac{BF}{AF}=\frac{2BN}{AB}$，即$\frac{FN}{AF}=\frac{2BN}{AB}$，取倒数有$\frac{2AF}{FN}=\frac{AB}{BN}$
于是$\frac{2AF}{FN}-\frac{AF}{BF}+1=\frac{AB}{BN}-\frac{AN}{BN}+1=0$，即$\frac{2}{FN}-\frac{1}{BF}+\frac{1}{AF}=0$，即$\frac{2FM}{FN}-\frac{FM}{BF}+\frac{FM}{AF}=0$
$N$的极线是$MPF$，但$N$在主轴上，于是$FM \perp AB$，将$\frac{FM}{**}$换为斜率即可

abababa

其实如果是带正负号的，要是直接取$F,N,B,A$这个点列，这样的话就直接得到了$\frac{2}{\vv{FN}}=\frac{1}{\vv{FB}}+\frac{1}{\vv{FA}}$，然后$FA$的方向和$FN,FB$的是反的，变成负号就是$\frac{2}{FN}=\frac{1}{FB}-\frac{1}{FA}$，觉得这样应该更简单一点

isee

原来如此。

(AB,FN)=-1，即FN是FA，FB的调和中项；再由MF与AB垂直便“挂”上了斜率。

原解答者，对调和的代数表达很熟悉，应该。