$\ln2$与$\dfrac32\ln2$，求分析

╰☆ヾo.海x

We know:
\begin{equation}\label{csineq}
1-\frac12+\frac13-\frac14+\frac15-\frac16+\frac17-\frac18+\cdots=\ln2
\end{equation}
$(1)\cdot$$\dfrac12$:
\begin{equation}
\frac12-\frac14+\frac16-\frac18+\cdots=\frac12\ln2
\end{equation}
$(1)+(2)$, we have:
\begin{align}
&(1-\frac12+\frac12)+(\frac13-\frac14-\frac14)+(\frac15-\frac16+\frac16)+(\frac17-\frac18-\frac18)+\cdots\notag\\
=&1+(\frac13-\frac12)+\frac15+(\frac17-\frac14)+\cdots=\frac32\ln2
\end{align}
As shown in sequences $(1)$ and $(3)$, they have the "same numbers" but in different orders, why they have different sum?

╰☆ヾo.海x

一句题外话，为什么ln打代码打出来是斜体不是正体...

爪机专用

回复 1# ╰☆ヾo.海x

级数就是这样的啊，改变顺序或者添加括号都可能改变和甚至其敛散性。

爪机专用

回复 2# ╰☆ヾo.海x

再看置顶

睡神

回复 1# ╰☆ヾo.海x
尼玛…Sorry！爆了个粗…级数可随意进行加减运算的？
举个例子：
$S=\sum2^n$
$2S=\sum2^{n+1}$
按照你的理论，那么有$S=-2$？
看来我又糗大了…原谅我这傻孩纸…

╰☆ヾo.海x

回复 3# 爪机专用

So you mean it's just a fact, we don't have to/ cannot prove it?

╰☆ヾo.海x

回复 5# 睡神

I don't know...This is the example given to us by our lecturer.

睡神

回复 7# ╰☆ヾo.海x
Oh,my God！I didn't see anything…I go to dive now~

szl6208

绝对收敛的级数，可以任意改变项的次序，任意添加括号，级数的和不变；而条件收敛的级数不行，题中的级数是条件收敛，而不是绝对收敛。

其妙

一句题外话，为什么ln打代码打出来是斜体不是正体...
╰☆ヾo.海x 发表于 2013-10-1 08:03

   代码：\ln x  ，显示：$\ln x$，
代码：ln x    ，显示： $ln x$

╰☆ヾo.海x

回复 10# 其妙

谢咯！

╰☆ヾo.海x

回复 9# szl6208


    谢谢...不过我还是不太懂。。。概念不清。还要做功课

其妙

回复 12# ╰☆ヾo.海x
该数列的绝对值的前$n$项和有极限吧---叫绝对收敛数列

pxchg1200

有个著名的Riemman重排定理，就是讲条件收敛的级数，可以通过重新排列从而达到任意的数码。上图好了，无图无真相。

青青子衿

参考：

hbghlyj

更强的命题:
级数条件收敛则可以重排使其部分和在$\Bbb R$上稠密