不等式

lrh2006

已知实数x,y满足x2+y2+xy=1,则x+2y的最大值为?

realnumber

这样可以做，x+2y=k,即x=k-2y代入$x^2+y^2+xy-1=0$,看作y的二次方程，从$Δ \ge 0$即可得出k的范围.

lrh2006

回复 2# realnumber


    谢谢！还有别的方法吗，比如直接用个不等式什么的？

战巡

回复 1# lrh2006


最近开发了新家伙，正好试试炮

令向量$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=z, \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}=a$，矩阵$\begin{pmatrix}1 & \frac{1}{2} \\\frac{1}{2} & 1\end{pmatrix}=A$

则有
\[z^TAz=1\]
要求 $a^Tz$ 最大值

\[f(z)=a^Tz+(z^TAz-1)\lambda\]
注意这里 $\lambda$ 是$1×1$矩阵
取最值时有：
\[\frac{\partial f(z)}{\partial z}=a+2Az\lambda=0\]
\[z^Ta+2z^TAz\lambda=z^Ta+2\lambda=0\]
\[2\lambda=-z^Ta\]
于是
\[a-Azz^Ta=0\]
\[zz^Ta=A^{-1}a\]
\[(a^Tz)(a^Tz)^T=(a^Tz)^2=a^TA^{-1}a=\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{4}{3} & -\frac{2}{3} \\-\frac{2}{3} & \frac{4}{3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}=4\]
\[a^Tz=\pm2\]


由此还可以推广到更高维，反正整个过程中真正代数据进去算的只有最后，另外就是$z^TAz=1$这里
如果$z^TAz=k$
以此也可证明，只要$\abs{A}\ne 0$，就有$(a^Tz)^2$最大值为$ka^TA^{-1}a$

kuing

太高科技……只能lu过闪走了……

lrh2006

太高大上了，不是我的水平能理解的。。。。

tommywong

“实用多元统计分析”P.61上有个广义柯西$(b^T d)^2 \le (b^T Bb)(d^T B^{-1} d)$
可是维基没有......
$(z^T a)^2 \le (z^T Az)(a^T A^{-1} a)$

tommywong

找到超多柯西不等式推广，$(b^T d)^2 \le (b^T Bb)(d^T B^{-1} d)$还只是在引言部分，先把它放在条目里了

isee

回复 4# 战巡

高等代数还能这么玩