一道和为1的不等式问题

郝酒

$\sum_{i=1}^{n}x_i=1,x_i>0$，求证
$$\sum_{i<j}\frac{2x_ix_j}{x_i+x_j}\geq n\sum_{i<j}x_ix_j$$

kuing

反向了吧，见 bbs.pep.com.cn/thread-644102-1-1.html

郝酒

谢谢，最开始的不等式是
$$n\sum_{i=1}^na_i^2-\sum_{i<j}\frac{(a_i-a_j)^2}{a_i+a_j}\leq 1$$
的确是反的。

kuing

谢谢，最开始的不等式是
$$n\sum_{i=1}^na_i^2-\sum_{i<j}\frac{(a_i-a_j)^2}{a_i+a_j}\leq 1$$
的确是反的。
郝酒 发表于 2015-5-20 22:00

擦，这个在本论坛也有 forum.php?mod=viewthread&tid=2354 而且两步搞定！

郝酒

nb,也就是说SOS那个可以简单证。

kuing

回复 5# 郝酒

那你是怎么将3#变成1#的？

其妙

回复 6# kuing
看来问问题还是原版好呀！

郝酒

\begin{align*}
&n\sum_{i=1}^na_i^2-\sum_{i<j}\frac{(a_i-a_j)^2}{a_i+a_j}\leq 1\\
\Leftrightarrow&n\sum a_i^2\leq\sum(a_i+a_j)-\sum\frac{4a_ia_j}{a_i+a_j}+1\\
\Leftrightarrow&\sum\frac{4a_ia_j}{a_i+a_j}\leq n(1-\sum a_i^2)\\
\Leftrightarrow&\sum\frac{4a_ia_j}{a_i+a_j}\leq n\left((\sum a_i)^2-\sum a_i^2\right)\end{align*}

kuing

回复 8# 郝酒

soga