求四面体的斯坦纳定理初等证明

hjfmhh

其妙

相关：blog.sina.com.cn/s/blog_54df069f0102vl0x.html
证明有立体几何的方法，构造一个四棱锥，底面是平行四边形，……
求cos的那个还可以向量的方法

hjfmhh

我想学习斯坦纳定理的证明

青青子衿

回复 3# hjfmhh

一个课本定理的推广及其演变：docin.com/p-671217304.html

青青子衿

回复 1# hjfmhh
立体几何的具体知识点能力篇.doc
Ⅰ.任何一个四面体都有外接球和内切球。
Ⅱ.设四面体$ABCD$表面积为$S$，内切球半径为$r$，则它的体积为$V=rS/3$
Ⅲ.设四面体$ABCD$各面上的高分别为$h_1$，$h_2$，$h_3$，$h_4$，内切球半径为$r$，则
\[\frac{1}{r}=\frac{1}{h_1}+\frac{1}{h_2}+\frac{1}{h_3}+\frac{1}{h_4}\]
Ⅳ.(斯坦纳定理)在四面体$ABCD$中，体积为$V$，记$AB$与$CD$所成角为$\theta $，距离为$d$，则
\[d \cdot \sin \theta  = \frac{{6V}}{{\left| {AB} \right| \cdot \left| {CD} \right|}}\]
\[\cos \theta  = \left| {\frac{{({{\left| {AC} \right|}^2} + {{\left| {BD} \right|}^2}) - ({{\left| {BC} \right|}^2} + {{\left| {AD} \right|}^2})}}{{2 \cdot \left| {AB} \right| \cdot \left| {CD} \right|}}} \right|\]
若$\triangle ABC$所在平面$\beta$与过边$AB$的平面$\alpha$所成角为$\theta$，$\triangle ABC$另两边$AC$,$BC$与平面$\alpha$所成角分别为$\theta _1$，$\theta _2$，$\triangle ABC$的两个内角分别为$A$，$B$，则
\[sin^2\theta _1+sin^2\theta _2=sin^2\theta (sin^2A+sin^2B)\]

hejoseph

那两个结论没什么难推导的啊，二面角的推导就有点困难

hjfmhh

谢谢各位学习了

hbghlyj

hejoseph 发表于 2015-6-15 06:50
那两个结论没什么难推导的啊，二面角的推导就有点困难

确实！请问二面角的结论如何推导

若$\triangle ABC$所在平面$\beta$与过边$AB$的平面$\alpha$所成角为$\theta$，$\triangle ABC$另两边$AC$,$BC$与平面$\alpha$所成角分别为$\theta _1$，$\theta _2$，$\triangle ABC$的两个内角分别为$A$，$B$，则
\[\sin^2\theta _1+\sin^2\theta _2=\sin^2\theta (\sin^2A+\sin^2B)\]

验证：

1. a={a1,a2,a3};
2. b={b1,b2,b3};
3. c={c1,c2,c3};
4. \[Alpha]=Cross[a,b];
5. \[Beta]=Cross[a-b,a-c];
6. \[Theta]=VectorAngle[\[Alpha],\[Beta]];
7. \[Theta]1=Pi/2-VectorAngle[a-c,\[Alpha]];
8. \[Theta]2=Pi/2-VectorAngle[b-c,\[Alpha]];
9. A=VectorAngle[a-b,a-c];
10. B=VectorAngle[b-a,b-c];
11. Factor[ComplexExpand[Sin[\[Theta]1]^2+Sin[\[Theta]2]^2-Sin[\[Theta]]^2 (Sin[A]^2+Sin[B]^2)]]

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hejoseph

用三面角的余弦定理，再用三角形的余弦定理就可以了，计算会比较麻烦。

hbghlyj

hejoseph 发表于 2025-1-13 01:24
用三面角的余弦定理，再用三角形的余弦定理就可以了，计算会比较麻烦。

是否分别成立$\sin^2\theta _1=\sin^2\theta \sin^2A$和$\sin^2\theta _2=\sin^2\theta \sin^2B$

我尝试了$\sin^2\theta _1-\sin^2\theta \sin^2A$

1. a = {a1, a2, a3};
2. b = {b1, b2, b3};
3. c = {c1, c2, c3};
4. \[Alpha] = Cross[a, b];
5. \[Beta] = Cross[a - b, a - c];
6. \[Theta] = VectorAngle[\[Alpha], \[Beta]];
7. \[Theta]1 = Pi/2 - VectorAngle[a - c, \[Alpha]];
8. \[Theta]2 = Pi/2 - VectorAngle[b - c, \[Alpha]];
9. A = VectorAngle[a - b, a - c];
10. B = VectorAngle[b - a, b - c];
11. Factor[ComplexExpand[Sin[\[Theta]1]^2 - Sin[\[Theta]]^2 Sin[A]^2]]

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