求消参方法

hjfmhh

kuing

还有一个条件你漏了，就是 $\alpha x=\gamma y$, $\beta x=(2-\gamma)y=z$，故此还应有 $\alpha(2-\gamma)=\beta\gamma$，这个等式再加上你的连等式，方程数才够。
然并卵！因为这类问题按常规套路玩下去一般会遇到高次方程，而这题目敢这样出肯定是设计过数据的，因此方程组一定会有简单解，所以这题更适宜目测。

hjfmhh

回复 2# kuing


    是2006年河南省数学竞赛题，怎么目测，kuing?常规套路是$\alpha,\beta，\gamma$都用t表示，再带入你那个等式吗？

kuing

直接目测取等条件会容易些，因为通常答案不会含根号，于是可从 $2xy$ 为平方数且 $3xyz$ 为立方数入手。
取等时 $\beta x=z$，故 $z$ 较小，不过与 $y$ 比较还不确定，先猜 $z$ 最小吧，由齐次性设 $z=1$，另外两个就先试些整数。
先目测数字不大的，设 $xy=2^p3^q$，则 $2^{p+1}3^q$ 为平方数且 $2^p3^{p+1}$ 为立方数，马上看到 $p=3$, $q=2$ 可行，然后分别测试 $(x,y)=(72,1)$, $(36,2)$, $(18,4)$ 等等，发觉是 $(x,y)=(36,2)$ 时最大，结果甚至还是个整数 $18$，机会很大。
由它来凑系数，就会有 $36\alpha=2\gamma$, $36\beta=2(2-\gamma)=1$，即 $\alpha=1/12$, $\beta=1/36$, $\gamma=3/2$，代入那个连等式看看是否成立即可。

hjfmhh

回复 4# kuing


    谢谢kuing,为什么设$xy=2^p3^q$,难道底数2,3来源于2xy,3xyz的系数

kuing

回复 5# hjfmhh

任何一个整数可以表示成 $2^p3^q5^r7^s\cdots$，这里先不考虑 5 以上的那些，因为那将会很大，要至少 5^6 才能开出来，应该不会这么大

其妙

还有一个条件你漏了，就是 $\alpha x=\gamma y$, $\beta x=(2-\gamma)y=z$，故此还应有 $\alpha(2-\gamma)= ...$， 然并卵！
kuing 发表于 2015-7-7 22:15

然并卵！