证明数列项为整数

longzaifei

设$r$为正整数，定义数列如下：$a_1=1$且
\[a_{n+1}=\dfrac{na_n+2(n+r)^{2r}}{n+2},n=1,2,⋯,\]
求证：$a_n∈N$．

战巡

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假设$r=2$
\[a_2=\frac{1·1+2(1+2)^{2·2}}{1+2}=\frac{163}{3}\]

青青子衿

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只有出处，没有解答。
lanqi.org/problems/4198/

longzaifei

我就是从那个网站看到的

青青子衿

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设$r$为正整数，定义数列如下：$a_1=1$且
\[a_{n+1}=\dfrac{na_n+2(n+r)^{2r}}{n+2},n=1,2,⋯,\]
求证：...
longzaifei 发表于 2015-7-30 17:35

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《新课标高中数学竞赛通用教程(高二分册)》
Page 113 例3
设\(r\)为正整数，定义数列如下：\(a_1=1\)且
\[a_{n+1}=\dfrac{na_n+2(n+\color{red}{1})^{2r}}{n+2},n=1,2,⋯,\]
求证：\(a_n∈N\)．
证明：由已知得\((n+2)a_{n+1}=na_n+2(n+1)^{2r+1}\)，所以
\[(n+1)(n+2)a_{n+1}=na_n+2(n+1)^{2r+1})\]
构建新数列\(\{b_n\}\)，\(b_n=n(n+1)a_n\)，则\(b_1=1\)，\(b_{n+1}-b_{n}=2(n+1)^{2r+1}\)，
所以\[b_n=b_1+\sum_{k=1}^{n-1}(b_{k+1}-b_k)=2(1+2^{2r+1}+3^{2r+1}+\cdots+n^{2r+1})\]，
所以\(b_n\in N\)
\[b_n=2n^{2r+1}+\sum_{k=1}^{n-1}[k_{2r+1}-(n-k)^{2r+1}]\\=2n^{2r+1}+\sum_{k=1}^{n-1}(n^{2r+1}-C_{2r+1}^{1}n^{2r}k+C_{2r+1}^{2}n^{2r-1}k^2+\cdots+C_{2r+1}^{2r}nk^{2r})\]
所以\(n|b_n\)，所以\(n(n+1)|b_n\)，从而\(a_n∈N\)．

\(我们愿做大自然的\Huge{数学}搬运工\)

longzaifei

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