线性代数求L怎么求

hjfmhh

tommywong

$
\begin{pmatrix}
2 & 0 & 1\\
0 & 1/2 & 3/2\\
1 & 3/2 & 5
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
3/2 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2 & -3 & 1\\
-3 & 5 & 0\\
1 & 0 & 5
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
3/2 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}^T
$
...
$
\begin{pmatrix}
2 & 0 & 0\\
0 & 1/2 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
3/2 & 1 & 0\\
-5 & -3 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2 & -3 & 1\\
-3 & 5 & 0\\
1 & 0 & 5
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
3/2 & 1 & 0\\
-5 & -3 & 1
\end{pmatrix}^T
$
$
\begin{pmatrix}
2 & -3 & 1\\
-3 & 5 & 0\\
1 & 0 & 5
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
-3/2 & 1 & 0\\
1/2 & 3 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2 & 0 & 0\\
0 & 1/2 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
-3/2 & 1 & 0\\
1/2 & 3 & 1
\end{pmatrix}^T
=
\dfrac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix}
2 & 0 & 0\\
-3 & 1 & 0\\
1 & 3 & 0
\end{pmatrix}
\dfrac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix}
2 & 0 & 0\\
-3 & 1 & 0\\
1 & 3 & 0
\end{pmatrix}^T
$

hjfmhh

回复 2# tommywong


    谢谢，能具体点吗

tommywong

算了吧 我还解释不了为什么把Q换成$
\begin{pmatrix}
2 & -3 & 1\\
-3 & 5 & 0\\
1 & 0 & 5
\end{pmatrix}
$

hjfmhh

回复 4# tommywong


    用的是线性代数的什么知识点

tommywong

对称矩阵用的，忘了是二次型还是整膠花

战巡

回复 1# hjfmhh


这个Q就有问题好吧，你要能让Q分解为$Q=L^TL$，就必须保证$Q$是正定或至少半正定阵，现在你这个明显就不满足条件

另外即便$Q$是正定阵或半正定阵，$Q=L^TL$也不是唯一的，有很多种分解方法
常见的一个是乔里斯基分解(Cholesky decomposition)，分解出来的$L$是上三角或下三角阵，具体的自己去en.wikipedia.org/wiki/Cholesky_decomposition查吧，反正英文维基没被封

另一种常见的是求特征根和特征向量，假设$Q$的特征根是$\lambda_1, \lambda_2,...\lambda_n$，对应特征向量组成的矩阵为$C$
那么有
\[L=CDC^T\]
其中
\[D=Diag(\sqrt{\lambda_1},\sqrt{\lambda_2},...,\sqrt{\lambda_n})\]

hjfmhh

回复 7# 战巡
能写写过程吗？第二种方法是什么定理？谢谢

tommywong

21世纪高等院校教材 云南省『十二五』规划教材
高等代数 郭龙先 张毅敏 何建琼 编 科学出版社
第6章 二次型
6.2 化二次行为标准形
定理6.2.1 数域F上的任意一个n阶对称矩阵都合同于一个对角矩阵

例6.2.3 解 作6×3矩阵，再进行定理6.2.1的初等变换

hbghlyj

WolframAlpha

hbghlyj

Matlab / Octave
$Q$的Cholesky分解是3*3的矩阵, 它的第三行是0, 前两行和8#给出的$L$相同, 而且满足$L^TL=Q$

octave:1> chol([2,-3,1;-3,5,0;1,0,5])*sqrt(2)

ans =



   2.0000  -3.0000   1.0000

        0   1.0000   3.0000

        0        0   0.0000



octave:2> L=[2,-3,1;0,1,3]

L =



   2  -3   1

   0   1   3



octave:3>  L'*L/2

ans =



   2  -3   1

  -3   5   0

   1   0   5

hbghlyj

$Q=\begin{pmatrix}
2 & -3 & 1\\
-3 & 5 & 0\\
1 & 0 & 5
\end{pmatrix}$ is a $3\times 3$ matrix.
The Cholesky decomposition $L$ of $Q$ is a $3\times 3$ upper triangular matrix. Let $L=\begin{pmatrix}
l_{11} & l_{12} & l_{13} \\
0 & l_{22} & l_{23} \\
0 & 0 & l_{33}
\end{pmatrix}$
Substituting into $L^TL$,
$$
L^TL
=
\begin{align*}
L^T L &= \begin{pmatrix}
l_{11} & 0 & 0 \\
l_{12} & l_{22} & 0 \\
l_{13} & l_{23} & l_{33}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
l_{11} & l_{12} & l_{13} \\
0 & l_{22} & l_{23} \\
0 & 0 & l_{33}
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
l_{11}^2 & l_{11} l_{12} & l_{11} l_{13} \\
l_{11} l_{12} & l_{12}^2 + l_{22}^2 & l_{12} l_{13} + l_{22} l_{23} \\
l_{11} l_{13} & l_{12} l_{13} + l_{22} l_{23} & l_{13}^2 + l_{23}^2 + l_{33}^2
\end{pmatrix}.
\end{align*}
$$
Solving $Q=L^TL$ for the nonzero entries of $L$, we have
$$
\begin{aligned}
l_{11} &= \sqrt{q_{11}} = \sqrt{2}, \\
l_{12} &= \frac{q_{12}}{l_{11}} = -\frac{3}{\sqrt{2}}, \\
l_{13} &= \frac{q_{13}}{l_{11}} = \frac{1}{\sqrt{2}}, \\
l_{22} &= \sqrt{q_{22}-l_{12}^2} = \frac1{\sqrt2}, \\
l_{23} &= \frac{q_{23}-l_{12}l_{13}}{l_{22}} = \frac3{\sqrt2}, \\
l_{33} &= \sqrt{q_{33}-l_{13}^2-l_{23}^2} = 0.
\end{aligned}
$$
Therefore, the Cholesky decomposition of $Q$ is
$$
L = \frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix}
2 & -3 & 1 \\
0 & 1 & 3 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.
$$

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2023-2-27 23:24
$Q=\begin{pmatrix}
2 & -3 & 1\\
-3 & 5 & 0\\

解 $l_{11},l_{22},l_{33}$时, 平方根有两个, 所以 $L$ 是不唯一的, 和7#讲得一样.