[物理]来自人教群的球在角落掉下来

kuing

粤A学生呆呆(1120******) 22:28:25

第4题怎么弄

刚开始时我是这样想的：

由于球离开桌角时，角对球无弹力，则球的重力在连心线上的分力完全用于向心力，设此时球心的速度为 $v$，则有
\[mg\cos \alpha =\frac{mv^2}R,\]
另一方面，设下降的高度为 $\Delta h$，则由重力势力转化为动能，有
\[mg\Delta h=\frac12mv^2,\]
易见
\[\Delta h=R-R\cos \alpha ,\]
由以上三个方程解得
\begin{align*}
\Delta h&=\frac13R, \\
\cos \alpha &=\frac23, \\
v &=\sqrt{\frac23gR}.
\end{align*}

但后来又感觉有点问题，不知是不是我想多了。

这里说的“球以桌角A为圆心顺时针转动”，过程中在接触的地方，到底是滑动的，还是不动的？
题目并没有说球或桌面是光滑的，如果不是光滑的，那接触点或许就一直是不动的，那么，在那点上就有了静摩擦力，球也会自转，于是第二个式子是否还成立呢？

kuing

战巡说没空写，只好临时自学了一下关于刚体转动的一些东西。
当接触点不动，也就是滚下来时，上面第二个式子不成立，另外两个应该没问题。
因为 $A$ 处的静摩擦不做功，弹力也不做功，只有重力做功，所以左边不用变，而右边应加上角动能，即
\[mg\Delta h=\frac12mv^2+\frac12I_C\omega^2,\]
这里 $I_C$ 表示球对过球心且垂直于屏幕的轴的转动惯量，经计算知
\[I_C=\frac25mR^2,\]
又显然
\[\omega=\frac vR,\]
代入化简得
\[mg\Delta h=\frac7{10}mv^2,\]
再与楼上那两式联立，解得
\begin{align*}
\Delta h&=\frac 7{17}R, \\  
\cos \alpha &=\frac{10}{17}, \\
v &=\sqrt{\frac{10}{17}gR}.  
\end{align*}

isee

我怎么感觉我中学时未见过此类题呢。

战巡

回复 3# isee


因为中学算不出角动能，一般也就不可能考察滚动问题

从上面也可以看出，如果是一个同样质量的滑块和小球从同样一个光滑斜面上滑下和滚下，最终速度是不一样的，滚动的明显慢一大截，因为角动能吃掉了4/9的能量

战巡

回复 2# kuing


其实也可以当做是球只以A点为轴做转动
根据平行轴定理，新的转动惯量
\[I=I_c+mR^2\]
其中$I_c$为直径为轴时的转动惯量，即$I_c=\frac{2}{5}mR^2$

然后
\[mg\Delta h=\frac{1}{2}I\omega^2\]
下同

kuing

回复 5# 战巡

soga，有道撸……