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本帖最后由 realnumber 于 2015-11-4 23:24 编辑 快看不懂了，重发保留下
bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=667313&extra=page=8
$x_i\in R^+,i=1,2,3,...,n,$
\[ prove \sqrt{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots++\frac{1}{x_n}}>\frac{1}{1+x_1}+\frac{1}{1+x_1+x_2}+\cdots +\frac{1}{1+x_1+\cdots+x_n}.\]
由cauchy不等式,下式成立
\[(\frac{x_1}{(1+x_1)^2}+\frac{x_2}{(1+x_1+x_2)^2}+\cdots +\frac{x_n}{(1+x_1+\cdots+x_n)^2})(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots++\frac{1}{x_n})\ge (\frac{1}{1+x_1}+\frac{1}{1+x_1+x_2}+\cdots +\frac{1}{1+x_1+\cdots+x_n})^2\]
要证明原题成立，只需要证明
\[\frac{x_1}{(1+x_1)^2}+\frac{x_2}{(1+x_1+x_2)^2}+\cdots +\frac{x_n}{(1+x_1+\cdots+x_n)^2}\le 1\]
\[又 \frac{x_i}{(1+x_1+\cdots+x_i)^2}<\frac{1}{1+x_1+\cdots +x_{i-1}}-\frac{1}{1+x_1+\cdots +x_i}, i=2,3,\cdots ,n\]
完. |
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