一个比较黑的不等式

血狼王

若方程$$e^x=mx$$有两个不等实根：$a,b$，求证：
$$3(a+b)^3>8(a^2+ab+b^2).$$
（by血狼王）
我原来的证明太捞，就不贴出来丢脸了。

血狼王

提示：
里面藏有一个关于$\ln x$的不等式。

kuing

最近常扯漂移，顺便把这个给写了吧，尽管我知道这不过是直接揭开楼主的谜底而已，过程肯定和楼主的一样。

易证 $a$, $b$ 都是正的，不妨设 $a>b$，则由条件得
\[\frac{e^a}a=\frac{e^b}b
\iff a-\ln a=b-\ln b
\iff a-b=\ln\frac ab,\]
根据 forum.php?mod=redirect&goto=findpost& … d=2517&pid=16390 （29楼）的不等式（也是楼主提出的，所以我才敢肯定这证法会和楼主一样），有
\[\ln\frac ab>\frac{8(a^3-b^3)}{3(a+b)^3}
=\frac{8(a-b)(a^2+ab+b^2)}{3(a+b)^3},\]
所以
\[3(a+b)^3>8(a^2+ab+b^2).\]