随便玩玩之二

血狼王

若$x,y,z$为非负实数，求证：
$(1)$
$$\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\geq \sqrt[6]{243(x^6+y^6+z^6)};$$
$(2)$
$$\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\geq 3\cdot \frac{x^3+y^3+z^3}{x^2+y^2+z^2}.$$

血狼王

若$a,b,c$均为非负实数且$a+b+c=1.$
求证：
$$2+\frac{\sqrt{145}}{5}\leq \sqrt{5a^2-20ab+4}+\sqrt{5b^2-20bc+4}+\sqrt{5c^2-20ca+4}\leq 7.$$

血狼王

$(1)$
若$a,b,c$为非负实数，且$a+b+c=3.$
求证：
$$15\leq \sqrt{25+24a^2b}+\sqrt{25+24b^2c}+\sqrt{25+24c^2a}\leq 21.$$
$(2)$
若$a,b,c$为非负实数。
求证：
$$\sqrt{a^3+2}+\sqrt{b^3+2}+\sqrt{c^3+2}\geq \sqrt{\frac{9+3\sqrt{3}}{2}(a^2+b^2+c^2)}.$$