来自某教师群的三角形内点作边垂线扯到线段和相等

kuing

聊天记录不是连惯的，只是将相关部分整理下来：

珠海小李NO.700(9833*****) 0:32:24
经k神指点后，这题这样改，还是比较值得做的
已知等边三角形ABC的边长为1,P 是其内一点,向三边分别作垂线,垂足分别为D,E,F,所分小三角形面积之比如下图,求问号部分的两个小三角形面积之比。


/mg茂名-睡神/mg<qq2745*********.com> 2:03:08
设AF:CF=a:b，则1/3+3/7+b/(a+b)=2/3+4/7+a/(a+b)，解得a:b=11:31
每个小三角形的面积也不难求

广州高中黄sir(1649*****) 6:58:22
原理是？？？？

广州kuing(249533164) 7:24:16
AD+BE+CF=BD+CE+AF
广州高中黄sir(1649*****) 7:24:44
怎么推出来的？是什么定理？
广州kuing(249533164) 7:24:58
过P作三边平行线即可看出来
截出来的可两两相消
图自己画，我还在床上，再眯一会

中山温老师(2865*****) 11:27:15

昨晚大家讨论的
这题有点意思

/mg茂名-睡神/mg<qq2745*********.com> 11:31:33
过p点作三边平行线

中山-李sir(5582****) 11:56:16

中山-李sir(5582****) 12:00:15
来个勾股定理的


中山温老师(2865*****) 12:00:45



中山温老师(2865*****) 15:40:34


广州kuing(249533164) 15:41:51
还是过O作各边平行线
总之就是截出来的各段长度互相抵消，早上我已经说过了

广州高中黄sir(1649*****) 15:43:20
怎么抵消？
让我开开眼界

广州kuing(249533164) 15:55:40

看看有没有漏

广州kuing(249533164)  16:26:58
代数证法还是勾股的比较简洁易通

珠海小李NO.700(9833*****)  16:25:16
用向量点乘证了一下，这循环和的感觉让人想起音阶的上行与下行


广州kuing(249533164)  16:32:54
O，向量法有优点，即使垂足在外面，将线段改为有向线段，结论还是成立。
通常涉及内外的问题用向量都比较方便处理

isee

正三角形的，战巡在人教BBS很早很早前就“破”了

kuing

刚人教群里又聊起，还有人问面积的，也画了类似图，顺便贴来这里

isee

曾经在人论，及话五心我是这么处理正三角形的。

线段和 转移为红色线段和，三角形xyz为正三角形。

kuing

生如夏花(2365*****) 13:12:13

彩色部分面积占一半，没思路

isee

又开始循环了

游客

其妙

楼主的题还有个平方和相等的性质在里面吧

abababa

我想起来在人教论坛看过这样一个题，但自己一直没解出来：

三线共点于$P$，阴影部分面积分别是$1,2,3$，求$\triangle ABC$的面积。

其妙

回复 9# abababa
三元方程组的问题（联立三个方程）

abababa

回复 10# 其妙
但是这个方程组用手算不那么好算，用软件算是下面结果：
Solve[(3+x)/(3+y+z)==1/y&&(4+y)/(2+x+z)==3/z&&(5+z)/(1+x+y)==2/x&&x>0&&y>0&&z>0,{x,y,z}]
{{x->1,y->2,z->3}}
但如果不加$x,y,z$为正的条件，会解出很多形式上复杂的解。

hbghlyj

其妙 posted at 2018-3-13 10:00
三元方程组的问题（联立三个方程）

类似题math.stackexchange.com/q/4374081