前几天人教群的四面体体积最大值(垂心四面体)

kuing

10-5晚，人教群里有人问了这样一个问题：

教师-不求甚解(9463****) 22:43:54
从空间一点O引四条线段.OA=2,OB=3,OC=4,OD=5.
求ABCD不共面时四面体ABCD的最大体积
搞不定了
K帮忙看看这题啊
应该是垂心四面体吧？
群管-kuing/shq/fad 22:47:02
什么叫垂心四面体
教师-yuzi(5755*****) 22:48:10
可能是OA⊥面BCD，。。。。
教师-不求甚解(9463****) 22:48:18
四面体四条高恰好交于一点
就是鱼子老师这个意思
教师-不求甚解(9463****) 22:50:03
不知道存不存在

话说我当时连垂心四面体都不知道，赶紧搜了一下相关东西，结果也没看到知道垂心到四顶点距离求体积的公式，于是尝试自己推一下，却发现很困难。


在推导之前，有必要说明一下这题的垂心四面体的存在性，这个说明先是得益于粉丝群里 wwd 的想法，后来由我再严格化。

这里的说明针对的是一般情形，我们不妨令 $O$ 为空间直角坐标系中的原点，由于四条线段长度已固定，故我们可以用球坐标来表示四个端点，每个点包含了两个角参，于是 $V$ 显然就能表示成一个 $8$ 元的连续函数，又由于球坐标的每个角参的取值范围都是闭区间，因此 $V$ 必存在最大值。

而 $V$ 取最大值时必然有 $OA\perp\text{平面}~BCD$，若不然，则总可以将 $OA$ 调整到垂直于平面 $BCD$（更准确地说还要是射线 $AO$ 与 $BCD$ 所以平面有交点的那种垂直）显然体积将更大，对 $B$, $C$, $D$ 同理，故必为垂心四面体（且显然垂心在四面体内）。

因为 $V$ 必存在最大值，故无论给定的四条线段长度如何，这种垂心四面体都存在。


那么，问题就变成：在规定垂心四面体的垂心在四面体内部的前提下，已知垂心到四顶点的距离，求四面体的体积。

为方便途述，先给出一个简单引理。

引理：如图，锐角 $\triangle ABC$ 中，$H$ 为其垂心，易证 $AH\cdot HD=BH\cdot HE=CH\cdot HF$，记此值为 $k$，则有
\[\frac k{k+HA^2}+\frac k{k+HB^2}+\frac k{k+HC^2}=1.\]

引理的证明用面积就可以了，这里略去。

问题：设垂心四面体 $ABCD$ 的垂心 $H$ 在四面体内部，已知 $HA=a$, $HB=b$, $HC=c$, $HD=d$，求该四面体的体积。

作如图所示的辅助线（HF其实不必连，不过懒得改了），则易证 $E$, $H$ 分别是 $\triangle ABC$, $\triangle AFD$ 的垂心，设 $EA=x$, $EB=y$, $EC=z$, $EH=w$。

在 $\triangle ABC$ 中，由引理，设 $AE\cdot EF=k$，则
\[\frac k{k+x^2}+\frac k{k+y^2}+\frac k{k+z^2}=1,\]由条件有 $x^2=a^2-w^2$, $y^2=b^2-w^2$, $z^2=c^2-w^2$，由 $\triangle AEH\sim\triangle DEF$，有 $AE/EH=DE/EF$，即 $k=w(d+w)$，所以上式化为
\[\frac{w(d+w)}{w(d+w)+a^2-w^2} +\frac{w(d+w)}{w(d+w)+b^2-w^2} +\frac{w(d+w)}{w(d+w)+c^2-w^2}=1,\]去分母整理为
\[3d^2w^4+2d(a^2+b^2+c^2+d^2)w^3+(a^2b^2+a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2+c^2d^2)w^2-a^2b^2c^2=0,\]解不来，哎，看来一般情况并不容易玩……

好吧，先暂停一下，试试代入原题的数据看看会怎么样，令 $a=2$, $b=3$, $c=4$, $d=5$ 代入上式居然可以分解！为
\[3(5w^2+9w-8)(5w^2+27w+24)=0,\]于是解出唯一正根
\[w=\frac{\sqrt{241}-9}{10},\]这样，所有的长度便能接着计算出来，从而得出体积。

但是我现在又想回到一般情形上了，尽管 $w$ 是个四次方程的根，但也不代表 $V$ 一定也是高次方程的根，可惜时间关系，得闪先，待续……

kuing

续楼上（继续沿用楼上的图形及字母等）：
设 $\triangle ABC$ 的面积为 $S$，其外接圆直径为 $D$，记 $\angle BAC=A$ 等，则易证 $x=D\cos A$ 等，由恒等式 $\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C+2\cos A\cos B\cos C=1$，代入得
\[D(x^2+y^2+z^2)+2xyz=D^3,\qquad(1)\]又易证 $BC^2=D^2-x^2$ 等，于是
\begin{align*}
16S^2&=2BC^2CA^2+2CA^2AB^2+2AB^2BC^2-BC^4-CA^4-AB^4\\
&=2(D^2-x^2)(D^2-y^2)+2(D^2-y^2)(D^2-z^2)+2(D^2-z^2)(D^2-x^2) -(D^2-x^2)^2-(D^2-y^2)^2-(D^2-z^2)^2\\
&=3D^4-2(x^2+y^2+z^2)D^2+2x^2y^2+2y^2z^2+2z^2x^2-x^4-y^4-z^4,\qquad(2)
\end{align*}因此，由 (1), (2) 消去 $D$，得
\[256S^6+16\sum(x^4-10y^2z^2)S^4 -8\sum(x^6y^2-4x^4y^4+x^2y^6+2x^2y^2z^4)S^2+\prod(x^2-y^2)^2=0,\qquad(3)\]在 (3) 中代入 $x^2=a^2-w^2$, $y^2=b^2-w^2$, $z^2=c^2-w^2$，得
\[
256S^6+16\left(\sum(a^4-10b^2c^2)+18w^2\sum a^2-27w^4\right)S^4 -8\left(\sum(a^6b^2-4a^4b^4+a^2b^6+2a^2b^2c^4) +w^2\prod(a^2+b^2-2c^2)\right)S^2+\prod(a^2-b^2)^2=0,\qquad(4)
\]设四面体 $ABCD$ 的体积为 $V$，则有 $S=3V/(d+w)$，代入 (4) 得
\[
186624V^6+1296(d+w)^2\left(\sum(a^4-10b^2c^2)+18w^2\sum a^2-27w^4\right)V^4 -72(d+w)^4\left(\sum(a^6b^2-4a^4b^4+a^2b^6+2a^2b^2c^4) +w^2\prod(a^2+b^2-2c^2)\right)V^2+(d+w)^6\prod(a^2-b^2)^2=0,\qquad(5)
\]由 (5) 及楼上得到的公式 $3d^2w^4+2d(a^2+b^2+c^2+d^2)w^3+(a^2b^2+a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2+c^2d^2)w^2-a^2b^2c^2=0$ 消去 $w$，理论上就可以得出只有 $V$, $a$, $b$, $c$, $d$ 的方程，但是…………太长了！这里写不下！

kuing

用几何画板验证了一下楼上的式(3)，见附件。

其妙

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kuing版的研究能力特强！

kuing

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帮我看看有没有别的更好的办法吧，或者检查一下上面的推理有没有问题……

kuing

1楼所得公式 $3d^2w^4+2d(a^2+b^2+c^2+d^2)w^3+(a^2b^2+a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2+c^2d^2)w^2-a^2b^2c^2=0$ 的软件验证：
垂心四面体垂心与面距离公式.cg3 (33.93 KB, 下载次数: 3908)

2013-10-9 23:22 上传

点击文件名下载附件

此文件是我用软件“Cabri 3D 2.1.2”做的，如果你有装此软件，打开文件后，双击“结果=...”可以显示计算的公式，公式中的 e 为上面的 w。
拖动各顶点可以发现，上述公式仅在垂心在四面体内部时成立。

kuing

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如果垂心在四面体外部，1楼中有一步要变一下，那就是 $k=w(d+w)$ 要改成 $k=w(-d+w)$，于是公式将变成\[3d^2w^4-2d(a^2+b^2+c^2+d^2)w^3+(a^2b^2+a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2+c^2d^2)w^2-a^2b^2c^2=0,\]用软件亦验证成立。

kuing

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式(5)也验证成立了，同样也是仅在垂心在四面体内部时成立。
垂心四面体消w前的体积公式验证.cg3 (39.98 KB, 下载次数: 4113)

2013-10-10 00:31 上传

点击文件名下载附件

不过那个公式太长，在 Cabri 3D 里无法一次过输完，得分开几个式子来计算，最后加起来，而且为免数字过大而产生较大误差，验证前应对公式作变形，比如两边除以 $V^6$ 齐次化，数字就不会过大。

isee

解析法加空间向量坐标形式也涉及大量代数运算

$O(0,0,0),A(a_1,a_2,a_3),\cdots\\
a_1^2+a_2^2+a_3^2=OA^2=4,\cdots\\
\ldots\\
V=\dfrac 16 \abs{(\vec {AB},\vec{AC},\vec{AD})}$

行列式的展开怕怕

其妙

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我更怕怕怕怕怕怕怕怕！

kuing

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垂心四面体的话，还有 $\vv{OA}\cdot\vv{OB}=\vv{OA}\cdot\vv{OC}=\cdots$（共六个式子，即两两之内积相等）

wayne

回复 6# kuing
得到这个式子之后，两边同时乘以$d^2$,增设变量$t=dw$，那么该公式就是轮换对称的形式了
$3 t^4+2(a^2 + b^2 + c^2 + d^2) t^3+(a^2 b^2 + a^2 c^2 + b^2 c^2 + a^2 d^2 + b^2 d^2 + c^2 d^2)t^2-a^2 b^2 c^2 d^2 =0$
然后体积 也是是$t$的三次多项式轮换对称的表达。
$ 36V^2 =  4t^3 +3(a^2 + b^2 + c^2 + d^2) t^2+ 2 t (a^2 b^2 + a^2 c^2 + b^2 c^2 + a^2 d^2 +b^2 d^2 + c^2 d^2)+(a^2 b^2 c^2 + a^2 b^2 d^2 + a^2 c^2 d^2 + b^2 c^2 d^2 )$

设：
\(s_1 = a^2+b^2+c^2+d^2\),
\(s_2 = a^2b^2+a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2+c^2d^2\),
\(s_3 = a^2b^2c^2+a^2b^2d^2+a^2c^2d^2+b^2c^2d^2\),
\(s_4 = a^2b^2c^2d^2\)
\(W = 36V^2 \)
则得到方程：
$27W^4-2 \left(2 s_1^3-9 s_2 s_1+54 s_3\right)W^3+(12 s_3 s_1^3+6 s_4 s_1^2-54 s_2 s_3 s_1+4 s_2^3-s_1^2 s_2^2+162 s_3^2-144 s_2 s_4)W^2+2 \left(-6 s_3^2 s_1^3+9 s_2 s_4 s_1^3+s_2^2 s_3 s_1^2-6 s_3 s_4 s_1^2+27 s_2 s_3^2 s_1-96 s_4^2 s_1-40 s_2^2 s_4 s_1-54 s_3^3-4 s_2^3 s_3+144 s_2 s_3 s_4\right)W+27 s_4^2 s_1^4+4 s_3^3 s_1^3-18 s_2 s_3 s_4 s_1^3-144 s_2 s_4^2 s_1^2+4 s_2^3 s_4 s_1^2+6 s_3^2 s_4 s_1^2-18 s_2 s_3^3 s_1+192 s_3 s_4^2 s_1+80 s_2^2 s_3 s_4 s_1+27 s_3^4-256 s_4^3+4 s_2^3 s_3^2-s_1^2 s_2^2 s_3^2+128 s_2^2 s_4^2-16 s_2^4 s_4-144 s_2 s_3^2 s_4=0$


更加详细的解答，参考链接：bbs.emath.ac.cn/thread-5190-8-1.html 78#, 79#.

。

kuing

回复 12# wayne

乃思学习鸟……