垂心四面体的体积勾股定理

lihpb

垂心四面体ABCD的各个底面三角形均为锐角三角形，则垂心四面体ABCD体积的平方等于分别以底面三角形ABC、ABD、ACD、BCD作斜面的4个外接直角四面体体积的平方和

图略

kuing

设 `AB=c`, `BC=a`, `CA=b`, `DA=p`, `DB=q`, `DC=r`，四面体体积为 `V`，则
\begin{align*}
V^2=\frac1{144}\Bigl(
&a^2p^2(-a^2+b^2+c^2-p^2+q^2+r^2)\\
&+b^2q^2(a^2-b^2+c^2+p^2-q^2+r^2)\\
&+c^2r^2(a^2+b^2-c^2+p^2+q^2-r^2)\\
&-(pqc)^2-(pbr)^2-(aqr)^2-(abc)^2\Bigr),
\end{align*}
四面体为垂心四面体的充要条件为对棱平方和相等，所以可设
\[a^2+p^2=b^2+q^2=c^2+r^2=k,\]
代入上面消去 `p`, `q`, `r` 可得
\begin{align*}
V^2&=\frac1{144}\left(k\sum a^2(k-a^2)-\sum(k-a^2)(k-b^2)c^2-(abc)^2\right)\\
&=\frac k{144}(2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2-a^4-b^4-c^4)-\frac1{36}a^2b^2c^2.
\end{align*}

另一方面，设“以 `\triangle ABC` 作斜面的直角四面体”的三条互相垂直的棱长分别为 `x`, `y`, `z`，则有 `x^2+y^2=c^2`, `y^2+z^2=a^2`, `z^2+x^2=b^2`，于是
\[x=\sqrt{\frac{b^2+c^2-a^2}2},~y=\sqrt{\frac{c^2+a^2-b^2}2},~z=\sqrt{\frac{a^2+b^2-c^2}2},\]
那么“以 `\triangle ABC` 作斜面的直角四面体”的体积为
\[\frac16xyz=\frac1{12\sqrt2}\sqrt{(b^2+c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)},\]
类似地，“以 `\triangle BCD` 作斜面的直角四面体”为
\[\frac1{12\sqrt2}\sqrt{(q^2+r^2-a^2)(r^2+a^2-q^2)(a^2+q^2-r^2)},\]
消去 `p`, `q`, `r` 即
\[\frac1{12\sqrt2}\sqrt{(2k-a^2-b^2-c^2)(a^2+b^2-c^2)(a^2-b^2+c^2)},\]
另外两个体积类似，所以四个直角四面体体积的平方和为
\begin{align*}
\frac1{288}\Bigl(
&(b^2+c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)\\
&+(2k-a^2-b^2-c^2)(a^2+b^2-c^2)(a^2-b^2+c^2)\\
&+(2k-a^2-b^2-c^2)(-a^2+b^2+c^2)(a^2+b^2-c^2)\\
&+(2k-a^2-b^2-c^2)(a^2-b^2+c^2)(-a^2+b^2+c^2)\Bigr),
\end{align*}
化简后同样是
\[\frac k{144}(2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2-a^4-b^4-c^4)-\frac1{36}a^2b^2c^2,\]
即得证。

lihpb

kuing 发表于 2024-6-5 17:41
设 `AB=c`, `BC=a`, `CA=b`, `DA=p`, `DB=q`, `DC=r`，四面体体积为 `V`，则
\begin{align*}
V^2=\frac1{14 ...

kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=12435

帮我看看这个，也是同类问题

isee

kuing 发表于 2024-6-5 17:41
设 `AB=c`, `BC=a`, `CA=b`, `DA=p`, `DB=q`, `DC=r`，四面体体积为 `V`，则
\begin{align*}
V^2=\frac1{14 ...

这个四面体的纯边的体积公式真长