这里开始研究古怪的级数……

血狼王

我以前手贱去写代码估算这两个东西：
$$S_n=-\underset{x\in [0,2\pi)}{\min} \sum_{k=1}^{n} \sin(k^2x)$$
$$C_n=-\underset{x\in [0,2\pi)}{\min} \sum_{k=1}^{n} \cos(k^2x)$$
算了十几个后，除了知道这两个东西大致与$n$同阶，就没有什么成果了。
现在转而考虑这样的级数：
$$\sum_{k=1}^{n} \frac{\sin(k^2x)}{k^\alpha}$$
$$\sum_{k=1}^{n} \frac{\sin(k^2x)}{k^\alpha}$$
问题是：
当$\alpha$分别满足什么条件时，这两个级数分别收敛呢？
猜测$\alpha=1$不符合，不知道对不对。

血狼王

另一个问题：
$$\sum_{p为素数}^{2\leq p\leq N} \ln p$$
的阶到底是什么？（$N$为趋于无穷大的正整数）
我猜测是$O(N)$（编代码模拟过了），可是找不到前人的证明，不知道是不是。

Czhang271828

另一个问题：
$$\sum_{p为素数}^{2\leq p\leq N} \ln p$$
的阶到底是什么？（$N$为趋于无穷大的正整数）
我 ...
血狼王 发表于 2016-6-16 02:31

这是素数定理的等价表述，你描述的猜想就是$\displaystyle{\limsup_{x\to\infty}\dfrac{\vartheta(x)}{x}<\infty}$。

最近给刚做过报告，silde里证明了$\lim_{x\to\infty}\dfrac{\vartheta(x)}{x}=1$，证明涉及单复变函数的基本知识。

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由于涉及个人信息，只发了初稿，但证明思路已经很完整了。
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二更：新链接

血狼王

回复 3# Czhang271828

多谢回复。
意思是，那个和跟N是渐近相等的？
我明白了

Czhang271828

回复 4# 血狼王

对。现有结论包括Pierre Dusart给出的结果：$\dfrac{\vartheta(x)-x}{x}=O(\log^{-2}(x))$。链接