1815年的 蝴蝶定理 （5楼高观下）7楼 经典解析法 OK 37楼变式

其妙

回复 20# kuing
其实我也没仔细看他的方法，等会儿在再截图。

isee

我只看过轴对称的方法和解析几何的圆系方程的解法
其妙 发表于 2013-10-23 13:13

这个曲线系一直没弄明白到底说的什么玩意呢，正想请教呢

其妙

回复 22# isee
你找了那么多的文献，我还以为你应该找到了解析几何的做法了呢？
还有就是承诺了传上来的东西常常忘记，需要很多人提醒才会想起来，

而且还可以推广到二次曲线，在朱德祥的那个证明里，还有直线$l$在圆外也成立的情形，感兴趣的童鞋自己去研究，

isee

回复 23# 其妙

这个证明的最后两步，很难懂，我今天揣测了很久，最后下了 GeoGebra，用其演示这个曲线系才明白意思，于是有7楼已经加了，解析证法的曲线系法。


最后，蝴蝶定理的 向量、复数法，不等式、反证法，这里不准备整理了，不过，如果有人跟帖补充，那太高兴了！

kuing

回复 23# 其妙

跟我预计的差不多，不过这几天都在督波，没心思玩题哎……

isee

回复  其妙

跟我预计的差不多，不过这几天都在督波，没心思玩题哎…… ...
kuing 发表于 2013-10-24 20:03

    什么是督波？

kuing

回复 26# isee

打桌球

Tesla35

回复 27# kuing


    打桌球没有遇到长腿妹子？

其妙

回复  其妙

跟我预计的差不多，不过这几天都在督波，没心思玩题哎…… ...
kuing 发表于 2013-10-24 20:03

因为你用那个退化二次曲线曾经解决过好几道这类题，好像在人教和本论坛第一版都有，

乌贼

回复 29# 其妙
广东考试题出现过

kuing

回复  kuing

打桌球没有遇到长腿妹子？
Tesla35 发表于 2013-10-24 23:04

我说的是QQ游戏上的2D桌球……
不过我找位置的时候的确会到处看有没有妹纸头像……

kuing

因为你用那个退化二次曲线曾经解决过好几道这类题，好像在人教和本论坛第一版都有， ...
其妙 发表于 2013-10-24 23:13

本论坛也有，如果这个（kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=36）也算的话。

Tesla35

回复 31# kuing


    {:curse:}

kuing

回复 33# Tesla35

看到妹纸头像旁边有空位果断坐上去……，看着妹纸头像打才有劲的嘛……

其妙

回复  其妙
广东考试题出现过
乌贼 发表于 2013-10-24 23:37

什么考试？弄个链接或者年代？

kuing

原来又有了更新，才看到

isee

不知道有人想练练手不？好巧呢，正好是蝴蝶定理加强的特殊情况，提示，证法2与证法4(可用同一法，或借鉴证明方法)，或解析法一定可以搞定的。


2013年首届《学数学》数学奥林匹克邀请赛试题，7月13日，第二的几何题，竟然是单墫老师提供的题呢。

题目

如图，已知$\triangle ABC$的外心为$O$， 其外接圆直径$MN$分别交$AB, AC$于点$E, F$.
$E, F$关于$O$的对称点分别为$E_1, F_1'$.
求证: 直线$BF_1$与$CE_1$的交点在$\triangle ABC$的外接圆上. (单墫供题)

isee

在高等几何观点下，由二次曲线的射影性质，记$GO_1=O_1H=a,AO_1=x,BO_1=y$，有

\begin{align*}
  N(GM,PH)&=Q(GM,PH)\\[1em]
  \Rightarrow (GO_1,AH)&=(GB,O_1H)\\[1em]
  \dfrac {GA\cdot O_1H}{GH\cdot AO_1}&=\dfrac {GO_1\cdot BH}{GH\cdot BO_1}\\[1em]
  \dfrac {GA}{ AO_1}&=\dfrac { BH}{BO_1}\\[1em]
  (a-x)y&=(a-y)x\\[1em]
AO_1=x&=y=BO_1  
  \end{align*}


以上内容便是在5楼完成二次曲线射影性质的扼要过程，终于整理更新完结。

isee

今天的确好像比平常这时候要慢一点点，另外，这帖，到今年10月份，点击查看，会不会破千啊，哈哈

abababa

发网友给讲的一些关于这个定理的，网友发了latex源代码，省去不少打字功夫。
定理一：过二次曲线$\Gamma$弦$A_1A_2$外一点$M$作$\Gamma$的两弦$B_1B_2, B_3B_4$，$B_1B_2 \cap A_1A_2 = A_3, B_3B_4 \cap A_1A_2 = A_4, B_1B_3 \cap A_1A_2 = P_1, B_2B_4 \cap A_1A_2 = P_2$，则
一、$\frac{P_1A_4}{P_1A_3}(\frac{1}{A_2A_4}+\frac{1}{P_1A_4}) = \frac{P_2A_3}{P_2A_4}(\frac{1}{P_2A_3}+\frac{1}{A_1A_3})$
二、$\frac{P_1A_4}{P_1A_3}(\frac{1}{A_2A_4}-\frac{1}{P_2A_4}) = \frac{P_2A_3}{P_2A_4}(\frac{1}{P_2A_3}-\frac{1}{P_1A_3})$

证明：由于二次曲线交比不变，因此$(A_1P_1A_3A_2) \barwedge B_1(A_1B_3B_2A_2) \barwedge B_4(A_1B_3B_2A_2) \barwedge (A_1A_4P_2A_2)$，即$\frac{A_1A_3}{P_1A_3}:\frac{A_1A_2}{P_1A_2} = \frac{A_1P_2}{A_4P_2}:\frac{A_1A_2}{A_4A_2}$，两边乘$\frac{A_1A_2}{A_1A_3 \cdot A_2A_4}$得$\frac{P_1A_4+A_4A_2}{A_2A_4 \cdot P_1A_3} = \frac{A_1A_3+A_3P_2}{A_1A_3 \cdot P_2A_4}$，即$\frac{P_1A_4}{P_1A_3}(\frac{1}{A_2A_4}+\frac{1}{P_1A_4}) = \frac{P_2A_3}{P_2A_4}(\frac{1}{P_2A_3}+\frac{1}{A_1A_3})$

因此$\frac{P_1A_4}{P_1A_3}(\frac{1}{A_2A_4}-\frac{1}{P_2A_4})+\frac{P_1A_4}{P_1A_3}(\frac{1}{P_1A_4}+\frac{1}{P_2A_4}) = \frac{P_2A_3}{P_2A_4}(\frac{1}{P_2A_3}-\frac{1}{P_1A_3})+\frac{P_2A_3}{P_2A_4}(\frac{1}{A_1A_3}+\frac{1}{P_1A_3})$。

而$\frac{P_1A_4}{P_1A_3}(\frac{1}{P_1A_4}+\frac{1}{P_2A_4}) = \frac{P_1P_2}{P_1A_3 \cdot P_2A_4} = \frac{P_2A_3}{P_2A_4}(\frac{1}{A_1A_3}+\frac{1}{P_1A_3})$，所以$\frac{P_1A_4}{P_1A_3}(\frac{1}{A_2A_4}-\frac{1}{P_2A_4}) = \frac{P_2A_3}{P_2A_4}(\frac{1}{P_2A_3}-\frac{1}{P_1A_3})$。


当$M,A_3,A_4$重合时，即有$\frac{1}{A_2M}+\frac{1}{P_1M} = \frac{1}{P_2M}+\frac{1}{A_1M}$，即$\frac{1}{A_1M}-\frac{1}{A_2M} = \frac{1}{P_1M}-\frac{1}{P_2M}$，此为 Candy 蝴蝶定理。

再当$A_1M = A_2M$时，即得$P_1M = P_2M$，此即为蝴蝶定理。