不等式与导数的杂糅

dodonaomik

设函数 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上存在导数 $f'(x)$，如果对任意的 $x \inR$，都有 $f(x)+f(2-x)=(x-1)^2+1$．且在 $(1,+\infty)$ 上总有 $f'(x) \leqslant x$，若 $f(6-t)-f(t) \geqslant 18-6 t$，则实数 $t$ 的取值范围是

kuing

跟 forum.php?mod=viewthread&tid=2243 类似，构造\[g(x)=f(1+x)-\frac12(1+x)^2\]即可，剩下的请自己写。

dodonaomik

谢谢，我后面，统统算完啦！

但是，一会到开始，我就有懵啦！就是一点不晓得，
为啥，要这样构造？


为啥不够造成g(x)=f(x)-0.5x的平方？

dodonaomik

算的累死


呵呵，遂平有限

游客

\[
f(x)+f(2-x)=(x-1)^2+1 \Rightarrow f'(x)-f'(2-x)=2(x-1) \Rightarrow f'(x)-x=f'(2-x)-(2-x)
\]
令 $F(x)=f'(x)-x$，则：$F(x)=F(2-x)$ ，即：$F(x)$ 的图象关于 $x=1$ 对称。 $\Rightarrow y=F(x+1)=f'(x+1)-(x+1)$ 为偶函数，根据积分构造原函数 $g(x)$， $g(x)=f(x+1)-\frac{1}{2}(x+1)^2+C$，为使得 $g(x)$ 为奇函数，再结合 $g(0)=f(1)-\frac{1}{2}+C=0$ 及 $f(1)=\frac{1}{2}$ 即可。