求 $\int_0^1 \frac{\ln ^2 x}{1+x^2} d x$

dim

我的想法是将积分转化为计算 $\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{(2 k+1)^3}$．考查 $S_n=a_n b_n-c_n$．其中 $a_n=\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{2 k+1}, b_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{(2 k+1)^2}$， $c_n=\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{(2 k+1)^3}$．如果能够能用别的方法证明 $S_{2 n}>0>S_{2 n-1}$，那么由 $\lim _{n \rightarrow \infty} S_n$ 存在知 $\lim _{n \rightarrow \infty} S_n=0$，从而 $\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{(2 k+1)^3}=\frac{\pi^3}{32}$．
还有一种想法就是先证明 $\prod_{k=0}^{+\infty}\left(1+\frac{(-1)^k x}{2 k+1}\right)=\sin \frac{\pi x}{4}+\cos \frac{\pi x}{4}=\cdots$（这个我也不会证明。。。）然后由用根与系数的关系来计算 $\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{(2 k+1)^3}$．当然这些都需要严格证明，求大神指教！
我的两种思路如上。似乎这种级数还可以推广到奇数次？求大神指教，谢谢！

战巡

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令$f(x)=x^3,-\pi\le x\le \pi$
对$f(x)$傅里叶展开得到
\[f(x)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin(kx)}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}t^3\sin(kt)dt=\sum_{k=1}^{\infty}(\frac{12}{k^3}-\frac{2\pi^2}{k})(-1)^{k}\sin(kx)\]
带入$x=\frac{\pi}{2}$，有
\[\frac{\pi^3}{8}=\sum_{k=1}^{\infty}(\frac{12}{k^3}-\frac{2\pi^2}{k})(-1)^{k}\sin(\frac{k\pi}{2})=\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k}(\frac{12}{(2k-1)^3}-\frac{2\pi^2}{2k-1})=\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k}\frac{12}{(2k-1)^3}+\frac{\pi^3}{2}\]
\[\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{(2k-1)^3}=\frac{1}{12}(\frac{\pi^3}{2}-\frac{\pi^3}{8})=\frac{\pi^3}{32}\]

dim

回复 2# 战巡


    谢谢大神！还没学傅里叶，以后回头看。我想知道我的方法行得通吗

战巡

回复 3# dim


第一种我没试过，可能可行

第二种是不行的，这是耍赖，虽然当年欧拉用过类似的方法来证明$\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}$，但严格来讲是耍流氓，非常不严谨

这一类级数的很多都可以由自傅里叶级数得出

dim

回复 4# 战巡


    好的，知道了，谢谢你！

青青子衿

我的两种思路如上。似乎这种级数还可以推广到奇数次？求大神指教，谢谢！ ...
dim 发表于 2016-5-11 00:11

有挺多方法的
tieba.baidu.com/p/4428450841