以概率1收敛（a.s.收敛）问题

tommywong

设 $f(x)$ 是 $[0,1]$ 上有定义的连续函数，且 $0 \leqslant f(x) \leqslant 1$ ．若 $\xi_1, \eta_1, \xi_2, \eta_2, \cdots$ 是一列服从 $[0,1]$ 上均勺分布的相互独立的随机变量序列，令
\[
\rho_i= \begin{cases}1, & f\left(\xi_i\right) \geqslant \eta_i, \quad(i \geqslant 1) \\ 0, & f\left(\xi_i\right)<\eta_i\end{cases}
\]
试证明：当 $n \rightarrow \infty$ 时，
\[
\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \rho_i \xrightarrow{\text{a.s.}} \int_0^1 f(x) \mathrm{d} x .
\]

战巡

回复 1# tommywong

\[P(\rho=1)=P(f(\xi)\ge\eta)=\int_0^1P(f(\xi)\ge\eta|f(\xi))P(f(\xi))=\int_0^1f(\xi)·\frac{df(\xi)}{f'(\xi)}=\int_0^1f(\xi)d\xi=p\]
而后显然
\[\sum_{k=1}^n\rho_k\sim BIN(n,p)\]


这个延伸下去可以得出Metropolis–Hastings算法，可以对一些不那么常见的分布进行抽样模拟，往往用在MCMC里面

tommywong

收皮性呢？