来自某教师群的抛物线由角求焦点弦长

kuing

上海金山徐绍魁(1062*****)  15:43:24
已知抛物线 $y^2=4 x$，过焦点 F 作直线 $l$ 交抛物线于 $A,B$ 两点，$M$ 为抛物线的准线与 $x$ 轴的交点， $\tan \angle A M B=\frac{4}{3}$，则 $|A B|=$

代数解法不难，我就不写了，群里有，下面来写个几何解法。

先证明 $MF$ 为 $\triangle MAB$ 的角平分线，如图，有
\[A'B'=\sqrt{AB^2-(AA'-BB')^2}=\sqrt{(x+y)^2-(x-y)^2}=2\sqrt{xy},\]
故
\[MA'=\frac{FA}{AB}\cdot A'B'=\frac x{x+y}\cdot2\sqrt{xy}
\riff \tan\angle AMF=\cot\angle A'MA=\frac{MA'}{AA'}=\frac{2\sqrt{xy}}{x+y},\]
同理
\[\tan\angle BMF=\frac{2\sqrt{xy}}{x+y},\]
可见 $MF$ 为平分线。设 $\angle AMF=\angle BMF=\theta$，上式整理为
\[xy=\frac{\tan^2\theta}4(x+y)^2,\]
再由熟知的结论
\[\frac1x+\frac1y=\frac2p \riff xy=\frac p2(x+y),\]
所以
\[AB=x+y=\frac{2p}{\tan^2\theta},\]
那么对于原题，有 $p=2$ 且 $\tan2\theta=4/3$，易得 $\tan\theta=1/2$，代入即得 $AB=16$。

abababa

回复 1# kuing

先用这帖forum.php?mod=viewthread&tid=3985&extra=page=2的结论，设直线$BA$交准线于$C$，得到$C,F,A,B$成调和点列，然后因为$FM\perp CM$，所以$MF$就平分$\angle AMB$
之后也是像楼主一样，得到$\tan\theta=\frac{1}{2}$，所以$A'M=\frac{x}{2},B'M=\frac{y}{2}$，然后是$A'B'=\frac{x+y}{2}=2\sqrt{xy}$，所以$xy=\frac{(x+y)^2}{16}$
之后$AB=\frac{2xy}{p}=xy=\frac{(x+y)^2}{16}=\frac{AB^2}{16}$，得$AB=16$

xugaosong

回复 1# kuing

也可由$\triangle AA'M\sim\triangle BB'M$得到$MF$为角平分线，然后
\[
A'M=x\tan\theta,B'M=y\tan\theta
\]
所以
\[
A'B'=\tan\theta(x+y)
\]

kuing

先用这帖forum.php?mod=viewthread&tid=3985的结论，设直线$BA$交准线于$C$，得到$C,F,A,B$成调和点列，然后 ...
abababa 发表于 2016-5-16 22:34

其实也不用那个链接了吧，用比例就可得调和点列了 FA:FB=A'A:B'B=CA:CB

kuing

回复 3# xugaosong

嗯，这个也不错

游客

\[
\frac{A_1 M}{A_1 A}=\frac{A_1 M}{FA}=\sin \angle AFH_A=\sin \angle FBB_1=\frac{B_1 M}{FB}=\frac{B_1 M}{B_1 B}, \angle MB_1 B=\angle MA_1 A=90^{\circ} \Rightarrow \triangle MB_1 B \sim \triangle MA_1 A
\]
$\Rightarrow \angle A_1 M A=\angle B_1 M B \Rightarrow M F$ 为 $\angle A M B$ 的角平分线。
又： $\tan \angle AMB=\tan 2 \theta=\frac{4}{3} \Rightarrow \sin \angle 1=\tan \theta=\frac{1}{2}$．
令 $H_{A} A=m$ ，则 $MF=(2+\sqrt{3}) m=2 \Rightarrow FA=2m=4(2-\sqrt{3})$．
同理可得$FB=4(2+\sqrt{3})$ ．

敬畏数学

回复 6# 游客
30°很关键。另外，此题用代数方法玩也椅子。链接里的那个斜率关系式也很有意思！
Kam+Kbm=2kmf。

敬畏数学

回复 6# 游客
此解法思路

abababa

回复 4# kuing
确实，用比例就行了。第一眼看到图感觉很像链接那帖里的图，因为前几天学习了链接里的证明，这帖只是多了垂直的条件，而垂直和角平分线又正好是调和点列的性质，所以第一印象马上就想到了调和点列。圆锥曲线的很多性质都很类似。