求证函数不等式

dim

$x<0$, 证明$$\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}+\frac{5}{12}-\frac{x}{12}+\frac{x^2}{240}>\frac{1}{\left(1-e^x\right)^2}>\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}+\frac{5}{12}$$

Aluminiumor

其实是个无聊题
$(e^x-1)^2$ 在 $x=0$ 处的 $[2/4]$ 阶和 $[2/2]$ 阶帕德逼近
只不过精度较高(如下)，求导要导很多次
$$\left(e^x-1\right)^2 \left(x^4-20 x^3+100 x^2-240 x+240\right)-240 x^2=-\frac{x^7}{3}+O\left(x^8\right)$$