关于级数和的问题

血狼王

设有数列 $\an$ 满足：
$a_1=t\in R^+,a_{n+1}=a_n-1+e^{-a_n}.$
求证当 $t\to \infty$ 时有：
$$\sum_{n=1}^\infty a_n=\frac{t(t+1)}{2}+C+o(1),$$
其中 $C$ 是一个常数。
（附加题：求出 $C$ 的值。）

Infinity

当 $t\to \infty$ 时，$a_n>0$ 故 $a_{n+1}>a_n-1>a_{n-1}-2>\cdots>a_1-n$，所以有 \[n+1-a_{n+1}<1-a_1=1-t<0\tag{1}\]注意到不等式$e^{-x}<1\;(x>0)$，所以$a_{n+1}<a_n-1+1=a_n$
记\[S_n=\sum_{k=1}^na_k-\frac{n(n+1)}{2}<\sum_{k=1}^na_1-\frac{n(n+1)}{2}<nt-\frac{n(n+1)}{2}\]即 $S_n$ 有上界。
注意到$(1)，于是$ \[S_n-S_{n+1}=n+1-a_{n+1}<0\]即$S_n$单调递增。
根据单调有界数列极限定理可知，$S_n$存在极限，值为\[C=\lim_{n\to \infty}S_n=\sum_{n=1}^{\infty}e^{-a_n}=0.502883757663428...\]