闭区间套定理中，区间长度趋于0是必须的吗？

abababa

如题，如果想用单调有界原理推出闭区间套定理，极限$\lim_{n\to\infty}\abs{b_n-a_n} = 0$是必须的吗？
就是如果只知道对任意的自然数$n$都有$[a_n,b_n]\supset[a_{n+1},b_{n+1}]$（这里$\supset$不包括等于），能不能不用说区间的长度趋于$0$？我感觉这有点符合直觉，但我不能证明它。我想到的是区间的长度$d_1>d_2>\cdots$，并且所有的$d_i$都是正数，这样$0$就是这个长度数列的一个下界，这个长度数列又单调递减，根据单调有界原理它肯定有一个极限，但这个极限怎么证明它就是$0$呢？

kuing

看起来并不能证明就是0吧

abababa

回复 2# kuing

能不能弄一个反例呢？满足对任意自然数$n$都有$[a_n,b_n]\supset[a_{n+1},b_{n+1}]$，但是不满足$\lim_{n\to\infty}\abs{b_n-a_n}=0$。

kuing

回复 3# abababa

$a_n=1-1/n$, $b_n=2+1/n$

abababa

回复 4# kuing

原来如此，谢谢。

icesheep

是这样，其实有两个版本的闭集套定理。

一个版本利用的是空间紧性，这种情况下不需要 diameter 趋于零，而且因为不用度量结构了，也不需要 diameter 这种概念了；
另一个版本利用的是空间的完备性，这种情况下必须让 diameter 趋于零，
换句话说，如果 diameter 不趋于零就不能得出交集非空（而不是仅仅不能得出交集的元素唯一），这在完备度量空间下是有反例的。

由于实数空间中闭区间是紧的，所以是否抛弃掉 diameter 趋于零这一点无所谓。