曲率的计算~~~我的问题是：

dodonaomik

有无更加直观和通俗的计算方法？



图上展示的，
是“老套的办法”

战巡

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人家书上都给你总结出这么短小精悍的一个公式了，你还想怎样？

dodonaomik

我的初衷，就是最好没有公式


现在想来，可能真的要用公式，哎~~~公示的记忆，总归是麻烦

hbghlyj

$\ln\abs{\cos x}$在$x\to\frac\pi2$趋于$-\infty$

hbghlyj

$ds^2=dx^2+dy^2=(1+y'^2)dx^2\implies ds=\sqrt{1+y'^2}dx$
设$α$为在该点的切线与$x$轴夹角, 则
$y'=\tan\alpha\implies\alpha=\arctan y'\implies d\alpha=\frac{y''dx}{1+y'^2}$
代入曲率的定义$\kappa=\frac{d\alpha}{ds}$得$$\kappa={y''\over(1+y'^2)^{3/2}}$$

hbghlyj

dodonaomik 发表于 2016-7-8 14:14
我的初衷，就是最好没有公式

你的愿望是好的，这个公式增加了记忆负担，却简化了重复的计算
上面的 $\alpha: I \rightarrow \mathbb{R}^2$ 是一条平面正则曲线，一般地，设 $\alpha: I \rightarrow \mathbb{R}^3$ 是 $\mathbb{R}^3$ 的一条正则曲线。
如果从定义来计算，先以弧长参数化$\alpha(s)$，曲率为$k(s)=|\frac{\rmd\bf T}{\rmd s}|=|α''(s)|$，由链式法则……
而有了这个曲率公式，参数化$\alpha(t)$不需要是弧长参数化也能直接带入曲率公式：
\[\label1\tag1
k(t)=\frac{\left|\alpha^{\prime \prime}(t) \wedge \alpha^{\prime}(t)\right|}{\left|\alpha^{\prime}(t)\right|^3}
\]
证明：假设由替换 $t=f(s)$ 给出弧长参数化 $\beta(s)=\alpha(f(s))$，由链式法则
\[
\beta^{\prime}(s)=\alpha^{\prime}(f(s)) f^{\prime}(s)
\]即$$\tag2\label2\left|\beta^{\prime}(s)\right|=\left|\alpha^{\prime}(f(s)) f^{\prime}(s)\right|=1$$
由链式法则
\[
\beta^{\prime \prime}(s)=\alpha^{\prime \prime}(f(s))\left(f^{\prime}(s)\right)^2+\alpha^{\prime}(f(s)) f^{\prime \prime}(s)
\]
现在由于 $\left|\beta^{\prime}(s)\right|=1$，我们知道 $\beta^{\prime}(s)$ 与 $\beta^{\prime \prime}(s)$ 正交。因此
\[
k(s)=\left|\beta^{\prime \prime}(s)\right|=\left|\beta^{\prime \prime}(s)\right|\left|\beta^{\prime}(s)\right|=\left|\beta^{\prime \prime}(s) \wedge \beta^{\prime}(s)\right| .
\]
所以我们计算 $\beta^{\prime \prime}(s) \wedge \beta^{\prime}(s)$，为
\begin{align*}\beta^{\prime \prime}(s) \wedge \beta^{\prime}(s)&=\\&
\left(\alpha^{\prime \prime}(f(s)) \wedge \alpha^{\prime}(f(s))\right)\left(f^{\prime}(s)\right)^3+\left(\alpha^{\prime}(f(s)) \wedge \alpha^{\prime}(f(s))\right) f^{\prime \prime}(s) f^{\prime}(s)
\end{align*}
由于 $\alpha^{\prime}(f(s)) \wedge \alpha^{\prime}(f(s))=0$，所以等于
\begin{align*}\beta^{\prime \prime}(s) \wedge \beta^{\prime}(s)&=\\&
\left(\alpha^{\prime \prime}(f(s)) \wedge \alpha^{\prime}(f(s))\right)\left(f^{\prime}(s)\right)^3
\end{align*}
根据 \eqref{2} 有 $f^{\prime}(s)=1 /\left|\alpha^{\prime}(t)\right|$，代入得到所述公式\eqref{1}。

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2025-2-19 20:45
一般地，设 $\alpha: I \rightarrow \mathbb{R}^3$ 是 $\mathbb{R}^3$ 的一条正则曲线。

更一般地，3 维以上没有 $\wedge$ 了
但 $|\alpha'\wedge\alpha''|$ 可以写成 $\sqrt {{\bigl |}{\alpha}'{\bigr |}{\vphantom {'}}^{2}{\bigl |}{\alpha}''{\bigr |}{\vphantom {'}}^{2}-{\bigl (}{\alpha}'\cdot {\alpha}''{\bigr )}{\vphantom {'}}^{2}}$，
任意 $n\ge2$，在 $\mathbb R^n$ 都适用公式 first curvature ${\displaystyle \kappa_1={\frac {\sqrt {{\bigl |}{\alpha}'{\bigr |}{\vphantom {'}}^{2}{\bigl |}{\alpha}''{\bigr |}{\vphantom {'}}^{2}-{\bigl (}{\alpha}'\cdot {\alpha}''{\bigr )}{\vphantom {'}}^{2}}}{{\bigl |}{\alpha}'{\bigr |}{\vphantom {'}}^{3}}}.}$
您可以查看 Banchoff 和 Lovett 所著的《曲线和曲面的微分几何》第 2 版第 9.1 节第 316 页