三次函数图像的平行切线的最小距离

青青子衿

其妙

谁画的啊？这么牛掰！

kuing

最小不是0么，动画一开始的时候

kuing

不失一般性，只要考虑 $f(x)=ax^3+bx$ 时，其中 $a>0$, $b\in\mbb R$。
设 $x_0\in\mbb R$，则点 $(x_0,f(x_0))$ 处的切线为 $y=(3ax_0^2+b)(x-x_0)+ax_0^3+bx_0$，即 $y=(3ax_0^2+b)x-2ax_0^3$，由对称性，与此切线平行的另一切线为 $y=(3ax_0^2+b)x+2ax_0^3$，设两切线距离为 $d$，则易得
\[d^2=\frac{16a^2x_0^6}{1+(3ax_0^2+b)^2},\]
然后你想怎么玩就怎么玩。