椭圆求证：1/OM+1/ON=2/OQ。

天音 · 2016-9-22 16:24

过椭圆外一点O作椭圆的两切线，切点是P1,P2，再过O作一直线交椭圆于M,N，交线段P1P2于Q，求证：1/OM+1/ON=2/OQ。

abababa · 2016-9-22 16:38

回复 1# 天音

其实就是调和点列吧，$(OQ,MN)=-1$，马上就得结果了。

isee · 2016-9-22 16:53

Last edited by isee 2016-9-22 17:07

其实就是调和点列吧，$(OQ,MN)=-1$，马上就得结果了。
abababa 发表于 2016-9-22 16:38

哈哈，就是啊，不过，楼主显然不是要高等几何……

圆下：forum.php?mod=viewthread&tid=2277（原题的链接），给这个链接的意思是仿射……

椭圆正面进击的，好像当年在人教吧（不肯定）也有，不知道k的撸题集里会不会有。。。。。。

色k · 2016-9-22 17:45

回复 3# isee

我也不知道有没有，懒得翻了，随便扯几句好了。
首先，由于待证式的三条线段方向相同，故此在作“伸缩变换”时三者的变化比例相同，而等式又是齐次的，所以变换不改变结论，因此只需证明椭圆变为圆时结论成立即可。

然后作如上图所示的辅助线，则有
\[
\frac1{OM}+\frac1{ON}=\frac2{OQ}
\iff (OM+ON)OQ=2OM\cdot ON
\iff OD\cdot OQ=OP_2^2
\iff OB\cdot OC=OP_2^2,
\]
显然成立。

天音 · 2016-9-23 17:23

回复 2# abababa

那是不是说抛物线双曲线也行？

abababa · 2016-9-23 19:16

回复 5# 天音

是的，圆锥曲线都能射影对应成圆。这题里的调和性质还是以前网友给我讲的，讲了很多性质，总感觉大同小异，但细看又有区别，有些现在我会用了，有一些我还不太明白。

敬畏数学 · 2016-9-26 22:33

回复 1# 天音
视乎非常繁杂运算。。。。

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[几何] 椭圆求证：1/OM+1/ON=2/OQ。