两圆

天音

如图，MN⊥AB，P是MN中点，∠AO1Q1=∠AO2Q2，求证PQ1=PQ2

kuing

作如图所示的辅助线，则显然 $PO_1$, $PO_2$ 为 $\triangle BMN$ 的中位线，
由此易见 $\triangle PO_1A\cong\triangle AO_2P$，得 $\angle PO_1A=\angle PO_2A$，所以 $\angle PO_1Q_1=\angle PO_2Q_2$，
又易见 $O_1Q_1=O_2P$, $O_1P=O_2Q_2$，从而 $\triangle PO_1Q_1\cong\triangle Q_2O_2P$，所以 $PQ_1=PQ_2$。

kuing

突然想起这个帖 forum.php?mod=viewthread&tid=3095，看了下是一样的东西！如此说来，该帖的题又多了一种解法。

kuing

回复 3# kuing

反过来，由那帖里的东东也能对本题给出另证：
首先由那帖三楼的前面几句可知这里的 $Q_1Q_2$ 是恒过点 $B$ 的，于是如下图所示，显然有 $Q_1Q_2NM$ 是直角梯型，从而易得 $PQ_1=PQ_2$。

天音

学习了