一道漂移小题

wzyl1860

已知函数 $f(x)=2 x-\frac{x^2}{\pi}+\cos x$，设 $x_1, x_2 \in(0, \pi), x_1 \neq x_2$ 且 $f(x_1)=f(x_2)$，若 $x_1, ~ x_0, ~ x_2$ 成等差数列，则
A．$f(x_0)>0$
B．$f(x_0)=0$
C．$f(x_0)<0$
D．$f(x_0)$ 的符号不确定

kuing

因为 $f'''(x)=\sin x$ 在 $(0,\pi)$ 上恒为正，不妨设 $x_1<x_2$，根据 forum.php?mod=viewthread&tid=4042 的定理，可知 $f(x_2)-f(x_1)>f'(x_0)\cdot(x_2-x_1)$，可见 $f'(x_0)<0$。

敬畏数学

设$g（x）=df/dx=2-2X/π-sinx（x∈（0，π））$
易得，$g（x)>0,x∈（0，π/2）,g（x)＜0,x∈（π/2，π）$
下面x1+x2的范围，不妨设$0＜x2＜π/2<x1<π$
设$h（x1）=f(x1)-f(π-x1)，π/2<x1<π$
易得h（x1）>0,即$f(x2)=f(x1)>f(π-x1)$，其中$π-x1，x2∈（0，π/2）$
又f（x）在$x∈（0，π/2）$为增函数
$x2>π-x1$，即$3π/2>x1+x2>π$，因而，$x0=（x1+x2）/2∈（π/2，3π/4）$
从而$g（x0)＜0$，即答案为C。