来自人教群的一道整数部分恒等式题（根号、对数）

kuing

话说，昨晚是小数部分，今晚又来整数部分，而且还是同一人发的问题，时间也差不多（我解的时间也差不多嗯），看来是有意的喔？不知明晚又会是什么？……

这题以前可能见过，但是当时有没有看到过解都没印象了，也懒得去搜索，反正是当新题玩了。

考查等号右边的各项中等于正整数 $m$ 的项数，这等价于关于正整数 $k$ 的不等式 $m\leqslant\log_kn<m+1$ 的解的个数，变形易得
\[m\leqslant\log_kn<m+1\iff k^m\leqslant n<k^{m+1}\iff\sqrt[m+1]n<k\leqslant\sqrt[m]n\iff\bigl[\sqrt[m+1]n\bigr]+1\leqslant k\leqslant\bigl[\sqrt[m]n\bigr],\]
由此可见，等号右边等于 $m$ 的项数共有 $\bigl[\sqrt[m]n\bigr]-\bigl[\sqrt[m+1]n\bigr]$ 个，又显然右边每一项都不会大于 $n$，所以
\begin{align*}
\text{右边}&=\sum_{m=1}^nm\bigl(\bigl[\sqrt[m]n\bigr]-\bigl[\sqrt[m+1]n\bigr]\bigr)\\
&=n+\sum_{m=2}^nm\bigl[\sqrt[m]n\bigr] -\sum_{m=1}^{n-1}m\bigl[\sqrt[m+1]n\bigr] -n\bigl[\sqrt[n+1]n\bigr]\\
&=n+\sum_{m=2}^nm\bigl[\sqrt[m]n\bigr] -\sum_{m=2}^n(m-1)\bigl[\sqrt[m]n\bigr]-n\\
&=\sum_{m=2}^n\bigl[\sqrt[m]n\bigr]\\
&=\text{左边}.
\end{align*}

kuing

今晚居然没有了，不知是不是因为看到我1#说的就不发了……
PS、佩服此恒等式的发现者

Tesla35

再贴个图片，摘自单墫《算两次》

kuing

回复 3# Tesla35

果然是老题。

这个解法的思想其实也差不多，都是考虑有多少个某个整数然后求和，不过他算两次，我只算了一次，连后面的“注”其实也一样，我上面也是为了方便，就求和到 n，虽然多了一些 0，但是能一次过证出来。